2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:08 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Есть задачка: найти предел последовательности: $$0.7, \quad 0.76, \quad 0.766, \quad 0.7666, \quad ...$$

Такое задание вижу впервые, в интернете подобных найти не могу, поэтому смею спросить, как вообще тут быть?

PS. Я нашел, что $\frac{23}{30} = 0.76(6)$, но это жульничество :D

UPD: Я даже нашел, что $0.76(6) = \frac{766-76}{900} = \frac{23}{30}$, но алгоритм решения исходного примера все равно непонятен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Limit79 в сообщении #937995 писал(а):
PS. Я нашел, что $\frac{23}{30} = 0.76(6)$, но это жульничество
Почему? Это как раз ответ. Разве что переписать в виде $0,7(6)$ - зачем одну шестерку перед циклом оставлять. А как вы нашли число $\frac{23}{30}$? Тут-то и собака порылась!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:11 
Заслуженный участник


09/05/13
6328
Limit79
Ну хотите, распишите как последовательность частичных сумм ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:13 


29/08/11
1759
provincialka
Жульничество было потому, что сначала это число нашел не я, а компьютер, но потом нашел и я.

Но как доказать, что данное число будет пределом данной последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Как предложила Otta, как сумму ряда. Какой это будет ряд? Его даже в школе проходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:24 


29/08/11
1759
Otta
provincialka
$$0.7 + 0.06 + 0.006 + ... = 0.7 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^{n+1}}$$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^{n+1}} = \frac{6}{100} + \frac{6}{1000} + ...$$

Это геометрическая прогрессия, сумма которой $$S = \frac{1}{15}$$ и $$0.7 + \frac{1}{15} = \frac{23}{20}$$

Но как это все связать с искомым пределом?

-- 29.11.2014, 22:29 --

Общий член исходной последовательности будет $$x_{n} = 0.7 + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{6}{10^{k+1}}$$

и предел последовательности $$\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n}) = \lim\limits_{n \to \infty} \left ( 0.7 + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{6}{10^{k+1}} \right ) = 0.7 + S = 0.7 + \frac{1}{15} = \frac{23}{30}$$

:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань
Все верно! Сумма ряда есть предел его частичных сумм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:33 


29/08/11
1759
provincialka
Otta
Благодарю Вас!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:34 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Таких задач я тоже не встречал, пока не увидел 4 месяца назад на американском форуме задачу: найти сумму ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^{n+2}}, $$
где $a_n$ -- $n$-ая цифра числа $\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение29.11.2014, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10863
Казань

(Задорнов)

Задорнов, не к ночи будь помянут, вспоминается... , ой, [...] эти американцы, ой, [...]

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение30.11.2014, 04:15 


28/05/12
203
Если $\frac{1}{10^3}$ вынести, то что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение30.11.2014, 09:45 
Аватара пользователя


26/03/13
307
Russia
Slow в сообщении #938177 писал(а):
Если $\frac{1}{10^3}$ вынести, то что получится?


И что же получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (периодическая дробь?)
Сообщение30.11.2014, 21:59 


28/05/12
203
Ну так $\frac{\pi}{10^3}$ вроде бы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group