2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл от супремума
Сообщение28.11.2014, 11:09 


05/09/14
19
Задача такая: Все на [0,1], мера Лебега, все $f_n$ интегрируемы и неотрицательны. Известно, что для всех $n\ge 1$
$$\int_{[0,\frac{1}{n}]}f_n\,dm\ge \frac{1}{2}.$$ Нужно доказать, что $$\int_{[0,1]}\sup_n f_n(x)\, m(dx)=\infty.$$

Подскажите, пожалуйста, с чего начать. Здесь как-то умно нужно применить лемму Фату?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от супремума
Сообщение28.11.2014, 12:12 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Рассмотрите случай, когда каждая $f_n(x)$ обращается в 0 в малой окрестности 0. (Для каждой функции своя окрестность, разумеется).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от супремума
Сообщение28.11.2014, 15:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Не надо малой, достаточно указанной: $\int\limits_{[0,\frac1n]}\sup\limits_n f_n(x)\,dm\geqslant\int\limits_{[0,\frac1n]}f_n(x)\,dm\not\to0$. Странная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от супремума
Сообщение28.11.2014, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ewert в сообщении #937438 писал(а):
Не надо малой, достаточно указанной: $\int\limits_{[0,\frac1n]}\sup\limits_n f_n(x)\,dm\geqslant\int\limits_{[0,\frac1n]}f_n(x)\,dm\not\to0$. Странная задача.
Странный ответ ( спрашивалось иное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от супремума
Сообщение28.11.2014, 16:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Что значит "иное". Спрашивалось, конечен ли интеграл от супремума. Ну так и заведомо это невозможно.

-- Пт ноя 28, 2014 17:45:23 --

А, ну да, я записал неверно. Эффект копипастения. Имелось в виду, конечно, $\int\limits_{[0,\frac1k]}\sup\limits_n f_n(x)\,dm\geqslant\int\limits_{[0,\frac1k]}f_k(x)\,dm\not\to0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group