2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гомоморфизм редукции
Сообщение26.11.2014, 00:40 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Помогите разобраться, о чем говорится в этом определении и что представляет из себя такой гомоморфизм.

Пусть $\sigma:A \to B$ - гомоморфизм колец

Рассмотрим многочлен $f=\sum\limits_{}^{}\alpha_{\nu_1..\nu_n}{X_1}^{\nu_1}\cdot...\cdot{X_1}^{\nu_1}$ из алгебры $A[X_1,...,X_n]$

$f^\sigma=\sum\limits_{}^{}\sigma(\alpha_{\nu_1..\nu_n}){X_1}^{\nu_1}\cdot...\cdot{X_1}^{\nu_1}$ $\in B[X_1,...,X_n]$

$\varphi^\sigma: A[X_1,...,X_n] \to B[X_1,...,X_n]$

$f \mapsto f^\sigma$

$\varphi^\sigma$ - гомоморфизм редукции

На практике этот гомоморфизм применяли так: коэффициенты многочлена над одним полем рассматривали над меньшим полем, при этом коэффициенты становились меньше или обнулялись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм редукции
Сообщение26.11.2014, 03:00 
Заморожен


20/12/10
5623
Вот простой пример (наверное, он и был приведён). Был многочлен с целыми коэффициентами. Его коэффициенты заменили остатками от деления на некое натуральное $m$. То, что такое отображение есть гомоморфизм (в частности, откуда и куда он), более-менее понятно. Или нет? Если нет, то нужно поработать с определением гомоморфизма (побольше и поразнообразнее примеров рассмотреть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм редукции
Сообщение26.11.2014, 18:42 
Аватара пользователя


03/11/14

395
nnosipov в сообщении #936192 писал(а):
Вот простой пример (наверное, он и был приведён). Был многочлен с целыми коэффициентами. Его коэффициенты заменили остатками от деления на некое натуральное $m$. То, что такое отображение есть гомоморфизм (в частности, откуда и куда он), более-менее понятно. Или нет? Если нет, то нужно поработать с определением гомоморфизма (побольше и поразнообразнее примеров рассмотреть).


Я все равно не понимаю, какую информацию несет определение. Любое определение должно быть таким, чтобы взглянул на него, и сразу понятно, как этот гомоморфизм преобразует данный многочлен. Но без примера про рассмотрение коэффициентов данного многочлена над другим полем это понять сложно.

Если $\sigma$ - гомоморфизм колец, то как понимать запись "многочлен в степени гомоморфизм $\sigma$" - $f^\sigma$?

Что такое "сигма от коэффициентов многочлена" - $\sigma(\alpha_{\nu_1..\nu_n})$? Как это отображение преобразует их? Или именно в этом месте находится ключевая идея редукции, которая заключается в приведении коэффициентов по модулю над другим кольцом?

Что такое "фи в степени сигма" $\varphi^\sigma$? Или это просто такое обозначение и не стоит так буквально понимать это как степень?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм редукции
Сообщение26.11.2014, 18:47 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Nurzery[Rhymes] в сообщении #936425 писал(а):
Если $\sigma$ - гомоморфизм колец, то как понимать запись "многочлен в степени гомоморфизм $\sigma$" - $f^\sigma$?

$f^{\sigma}$ - образ многочлена $f$ при гомоморфизме $\sigma$. Это довольно стандартное обозначение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм редукции
Сообщение26.11.2014, 23:41 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Цитата:
$f^\sigma=\sum\limits_{}^{}\sigma(\alpha_{\nu_1..\nu_n}){X_1}^{\nu_1}\cdot...\cdot{X_1}^{\nu_1}$ $\in B[X_1,...,X_n]$


Правильно ли я понимаю, что гомоморфизм $\sigma: A \to B$ действует на коэффициенты многочлена и ставит в соответствие коэффициенту из $A$ некоторый элемент из $B?$ Но если так, тогда гомоморфизм редукции неоднозначный и может быть каким угодно, а не только приведением коэффициентов данного многочлена по модулю. Например, мы можем сопоставить каждому коэффициенту его след или норму, это тоже будет редукция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомоморфизм редукции
Сообщение26.11.2014, 23:53 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
В общем случае гомоморфизмов $A \to B$ может быть много. Только ни норма, ни след гомоморфизмами колец не являются.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group