2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение13.11.2014, 19:04 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, я имел в виду именно что "большие" $n$. В принципе, если это верно, то "малые" $n$ можно проверить доказательными вычислениями.
Хочу отметить, что это пока что не совсем строгие рассуждения. Надо бы их тщательно проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение19.11.2014, 17:10 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
У меня при размышлении над Вашей схемой доказательства возникли два вопроса:
1. При сходимости $F_n(x)$ к $\tilde{F}(\tau)$ точки максимума (в случае, если их много) должны "притянуться" к $\tau_0$ быстрее, чем участок вогнутости превратится в $[0, \tau_0 +\varepsilon]$. Надо ли это доказывать или нет? Извините, я наверное, очень криво объясняю. :oops:
2. Как методом доказательных вычислений можно доказывать вогнутость функции на заданном интервале $[0,\tau_0]$? Легко доказать, что $\tilde{F}''(0) <0$ и $\tilde{F}''(\tau_0) <0$. На надо еще доказать, что у $\tilde{F}''(\tau) $ на этом интервале нет корней. В принципе несложно численно найти корень второй производной и показать, что он больше, чем $\tau_0$, но как доказывать, что он единственный? По-видимому нужен анализ на условия Липшица, а это приводит нас к необходимости анализировать 3-ю производную и, далее, получается замкнутый круг. :-(
Буду благодарен, если Вы мне сможете эти два момента растолковать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение19.11.2014, 21:16 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Давайте сначала разберемся с предельной функцией и доказательными вычислениями.
$\tilde{F}(\tau)  = \tau e^{-\tau} \sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}\ln(i+1) - \tau \ln \tau$.
Функция задана рядом. Мы можем просуммировать сколько-угодно членов с контролем ошибки, но это будет лишь неким приближением. Для того, чтобы оценить точность вычислений, мы должны уметь оценивать величину отброшенного "хвоста"
$R_n(\tau)  = \tau e^{-\tau} \sum\limits_{i=n}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}\ln(i+1)$
Оценка должна быть вычислимой. Ну, например,

$\frac{\ln(n+k+1)}{(n+k)!} \leqslant \frac{1}{(n-1)!k!} $

А значит

$R_n(\tau)  \leqslant \tau e^{-\tau} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\tau^{n+k}}{(n -1)!k!} = \frac{\tau^{n+1}}{(n -1)!}$

Но это лишь пример. Вы можете выбрать какую-нибудь другую оценку. Таким образом, Вы можете вычислять эту функцию с какой угодно точностью.
Аналогично этому, можно вычислять и ряд для функции $\tilde{F}''(\tau)$. Для "малых" $\tau$ ничего вычислять не надо, поскольку слагаемое $-1/\tau$ будет преобладать. А вот для других $\tau$ надо уже проводить вычисления.
План такой.
1. Организуем вычисления $\tilde{F}(\tau)$ с контролем ошибки в точках $\tau_k$ с "небольшим" шагом. Надежно фиксируем интервал с небольшим запасом, содержащий точку максимума. Запас нам необходим для оценок $F_n(x)$. (Наверняка вторая производная отрицательна не только вплоть до т. максимума, но и немного дальше). Убеждаемся, что максимум больше 0.5. (Вы упоминали что-то вроде 0.58).
2. Предварительно в этих же точках считаем и $\tilde{F}''(\tau)$. Убеждаемся, то производная действительно отрицательная.
3. Теперь надо это ДОКАЗАТЬ. Для этого теоретически оцениваем третью производную в промежутке между точками и тогда можно оценить значение $\tilde{F}''(\tau)$ в промежуточных точках по т. Лагранжа. И снова годится оценка хвоста. Более того, точная оценка не потребуется, если уже ясно, что производная меньше 0. Величина третьей производной как раз и определит тот самый шаг между $\tau_k$.
4. В результате всех этих действий должно получиться, что функция $\tilde{F}(\tau)$ достигает максимума в некой точке $\tau_0$, которую мы можем указать с нужной точностью. Для некоторого $\tau_1 > \tau_0$ на интервале $(0, \tau_1)$ функция $\tilde{F}''(\tau)$ отрицательна. Это, кстати, гарантирует единственность т. максимума.

И вот уже после этого, можно будет заняться предельным переходом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение23.11.2014, 10:42 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
Спасибо, я, кажется, разобрался с предлагаемой Вами методикой доказательных вычислений! Действовал следующим образом:
1. Для третьей производной $F'''(\tau)$ нашел оценку снизу на всем интервале $\tau \in [0, \infty)$. Очень грубую, но все-таки конечную. :-)
2. Нашел оценку для "хвоста" ряда $F''(\tau)$. Тоже, по-видимому, грубоватую, но при быстродействии нынешних ЭВМ вполне допустимую.
3. Далее, учитывая погрешности отбрасываемого хвоста показал, что $F''(2) < 0$.
4. Учитывая оценку снизу на $F'''(\tau)$ начал двигаться от точки $\tau = 2$ по направлению к нулю. Каждый раз выбирая шаг так, чтобы $F''(\tau)$ "вдруг" не стала положительной. Так потихоньку дошел до нуля и во всех точках $F''(\tau)$ была отрицательной. Значит $F''(\tau) < 0$ как минимум на интервале $[0,2]$.
5. Т.к. $F(\tau)$ содержит максимум в точке $\tau \approx 1.38$, то исходное утверждение доказано.

Теперь хотелось бы понять, надо ли как-то отдельно сравнивать скорости сходимости исходной функции и ее второй производной к предельным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение23.11.2014, 16:04 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Ну, я не специалист по доказательным вычислениям, но действовал бы примерно так же как и Вы. :-)
Насчет скоростей сходимости - не понял вопрос. А зачем их сравнивать? Мне кажется, что это ни к чему. Если только Вас не интересует какое-то более конкретное поведение $F_n(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение23.11.2014, 18:29 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
Я просто попытался представить себе эту картинку со сходимостью $F_n(x)$ к $\tilde{F}(\tau)$ и одновременно $F''_n(x)$ к $\tilde{F}''(\tau)$ и возник следующий образ :-) : предположим, что максимумов у функции при конечном $n$ - несколько, а $F''_n(x) < 0$ на интервале $[0,\varepsilon_n ]$. И при сходимости получается так, что один из максимумов все время "выскакивает" за диапазон $[0,\varepsilon_n ]$. Т.е. максимумы "притягиваются" к $\tau_0$ медленно, а участок "отрицательности" $F''_n(x)$ превращается в $[0,\tau_0 + \varepsilon]$ быстро.

По-видимому, при достаточно больших $n$ такого уже не может возникнуть, но не надо ли это как-то отдельно обосновывать (сказать на этот счет какие-нибудь "правильные" слова :wink: )?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение23.11.2014, 20:38 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Правильные слова я уже произносил 8-)
Повторюсь.
Пусть $x_n$ - какой-нибудь максимум функции $F_n(x)$. Обозначим $y_n = nx_n$. Тогда с ростом $n$ возможны два варианта.
Либо последователь $y_n$ ограничена,
либо имеется неограниченная подпоследовательность.
Второй случай невозможен, поскольку там возникают значения не больше $1/2$, в то время как при $y_n \approx \tau_0$ значения будут близки к $0.58$.
Но в первом случае, когда последовательность $y_n$ ограничена, имеет место приближенное равенство
$F_n(y_n) \approx \tilde F(y_n)$
Следовательно $y_n$ должны быть близки к $\tau_0$. И, чем больше $n$, тем в меньшую окрестность $\tau_0$ они попадают. Формально, точек максимума там может быть много. Но на самом деле максимум один, потому, что в этой области $F''_n(y_n) \approx \tilde F''(y_n) < 0$.
Я не совсем понял ваш пример, поэтому опишу, что там происходит на самом деле.
Для всякого "большого" $n$ можно рассмотреть $F_n(\tau_0/n)$. В силу известных Вам формул, эта величина близка к $0.58$. Это означает, что максимум уж никак не меньше, скажем, $0.57$. Как я уже много раз говорил, это означает, что $y_n = nx_n < A$ для некоторого достаточно большого $A$ (иначе мы не получим ничего больше $1/2$). Но при условии $nx_n < A$ имеет место сходимость $F_n(y_n) \to \tilde F(y_n)$. Это означает, что максимум может достигаться лишь для $y_n$ в малой окрестности $\tau_0$. И эта окрестность с ростом $n$ становится все меньше и меньше. А вот вторая производная $\tilde F''(\tau) < 0$ в некоторой фиксированной окрестности $\tau_0$. Помните, я упоминал про необходимость небольшого запаса? Следовательно, рано или поздно, все максимумы будут попадать в область $\tilde F''(y_n) < 0$, а значит и $F''_n(y_n) < 0$. В силу чего максимум ровно один.
Формальное доказательство выглядит примерно так.
Рассмотрим точки, в которых достигается максимум $F_n(x)$ и среди них выберем максимальную. Обозначим ее $x_n$. Обозначим $y_n = nx_n$. Докажем , что последовательность $y_n$ ограничена. От противного. Если это не так, то выберем неограниченную подпоследовательность, на ней имеет место сходимость к $1/2 - x_n$. В то же самое время, $F_n(\tau_0/n) > 0.57$. Значит $x_n$ не является максимумом. Противоречие.
Итак, последовательность $y_n$ ограничена. Но тогда это же справедливо и для всех точек максимума (раз уж справедливо для наибольшей). При этом условии $F_n(z_n) \to \tilde F(nz_n)$ для любой точки максимума $z_n$. Это означает, что $nz_n \to \tau_0$. А там есть сходимость и второй производной и она там знак не меняет, а значит максимум ровно один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ функции, на знаки производных
Сообщение25.11.2014, 18:12 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
Я понял, благодарю за терпение! :)

(Оффтоп)

А в каком разделе математики изучают такого рода рассуждения? :) Мат. анализ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group