задачи на делимость с факультатива

[fadetoblack]

а как оно к такому сводится(я наверна сооовсем тупой) .. у меня такое получается только если $t\equiv 0\pmod{4}$, но ведь возможно и $t\equiv 2\pmod{4}$ ??? или я что-то не так понимаю?

[maxal]

fadetoblack писал(а):

у меня такое получается только если $t\equiv 0\pmod{4}$, но ведь возможно и $t\equiv 2\pmod{4}$ ???

Ну да, и это влечет:
$t \equiv t(xy+yz+xz)\pmod{4}$
какими бы нечетными числами $x,y,z$ не были.

[fadetoblack]

объясните, пожалуйста, что дальше?? и как вы это получили?? у меня то ли мозг не соображает, то ли неспособен он на это ...

[maxal]

Для $t\equiv 0\pmod{4}$ сравнение $t \equiv t(xy+yz+xz)\pmod{4}$ эквивалентно $0\equiv 0\pmod{4}$.
Для $t\equiv 2\pmod{4}$ сравнение $t \equiv t(xy+yz+xz)\pmod{4}$ эквивалентно одному из $2\equiv 2\cdot 1\equiv 2\cdot 3\pmod{4}$.

[fadetoblack]

всё ... последний вопрос и я наверна , если не пойму - пойду лучше спать ... откуда берётся сравнение
$t \equiv t(xy+yz+zt)\pmod{4}$ ?

[maxal]

fadetoblack писал(а):

всё ... последний вопрос и я наверна , если не пойму - пойду лучше спать ... откуда берётся сравнение
$t \equiv t(xy+yz+zt)\pmod{4}$ ?

Там была опечатка. Правильное сравнение такое: $t \equiv t(xy+yz+xz)\pmod{4}$, и оно нужно, чтобы свести
$x+y+z+t\equiv xyz+xyt+xzt+yzt\pmod{4}$
к
$x+y+z\equiv xyz\pmod{4}$.

[fadetoblack]

что опечатка - не столь важно, я понял ... как свести-то???? вот в чём вопрос!

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

да... туплю очень конкретно .. свести понятно как))) ... откуда взять, что $t \equiv t(xy+yz+xz)\pmod{4}$ .. почему оно верно??

[maxal]

fadetoblack писал(а):

откуда взять, что $t \equiv t(xy+yz+xz)\pmod{4}$ .. почему оно верно??

см. выше

[fadetoblack]

всё.. догнал!!! наконец-то ... спасибо)

[maxal]

fadetoblack писал(а):

Цитата:

Например, выписать их подряд и поменять местами каждое $\equiv 3\pmod{5}$ со следующим.

а попробуте-ка выписать и поменять, вроде как не получается

Где именно не получается? Ряд остатков от деления на 5 будет
1,2,4,3,0,1,2,4,3,0,...
Ни сумма, ни разность никаких двух соседних не равна $0\bmod 5$.

[neo66]

fadetoblack писал(а):

8. можно ли все простые числа, меньшие 100, выписать в ряд так, чтобьы ни сумма, ни разность рядом стоящих чисел не делилась на 5?

Всего есть 25 простых чисел, меньших 100. Из них
1 число $\equiv 0 \pmod{5}$
5 чисел $\equiv 1 \pmod{5}$
7 чисел $\equiv 2 \pmod{5}$
7 чисел $\equiv 3 \pmod{5}$
5 чисел $\equiv 4 \pmod{5}$

Рассмотрим 14 чисел, имеющих остатки 2 или 3 при делении на 5. Они не могут стоять рядом по очевидной причине. Но 13 "дырок" между ними нельзя заткнуть оставшимися 11 числами. Следовательно ...

[maxal]

Теперь понятно, о чем речь. Я упустил слово "простые" в условии задачи.

[fadetoblack]

у меня тут ещё задачка есть ... по-моему на делимость, но возможно я ошибаюсь:

доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде x_1^3+x_2^5+x_3^7+x_4^9+x_5^11 , где x_i - натуральное число

[ИСН]

Ошибаетесь. (То есть, может, быть, можно и через делимости как-то там, но ) Возьмём лохматое число $N$. Ниже его у нас находится примерно $\sqrt[3]N$ кубов, примерно $\sqrt[5]N$ пятых степеней, ну и там соответственно седьмых, девятых и одиннадцатых. Перемножив все эти количества, получим число возможных комбинаций. Так вот, оно будет меньше $N$.

[maxal]

ИСН писал(а):

Ошибаетесь. (То есть, может, быть, можно и через делимости как-то там, но ) Возьмём лохматое число $N$. Ниже его у нас находится примерно $\sqrt[3]N$ кубов, примерно $\sqrt[5]N$ пятых степеней, ну и там соответственно седьмых, девятых и одиннадцатых. Перемножив все эти количества, получим число возможных комбинаций. Так вот, оно будет меньше $N$.

А почему ошибается-то? Ваше рассуждение по сути дает, что количество непредставимых чисел растет как $\Omega(N^{1-1/3-1/5-1/7-1/9-1/11})=\Omega(N^{422/3465})$, и в частности их действительно бесконечно много.