2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:33 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно
Это неверно, пример достаточно простой: пусть $q_k$ — рациональные, $A_k = (q_k - \frac{1}{2^k}, q_k + \frac{1}{2^k})$, $A = \bigcup_k A_k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Давайте обозначим множество $A$ в следующем примере через $A^2$, где верхний индекс 2 намекает на двойку в знаменателях для интервалов:
Цитата:
$A_k = (q_k - \frac{1}{2^k}, q_k + \frac{1}{2^k})$, $A = \bigcup_k A_k$.

Построим по аналогии для той же нумерации рациональных чисел множества $A^3, A^4,...$.

Разве счётное пересечение всех этих множеств не противоречит следующему утверждению:
Nemiroff в сообщении #931943 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых
Это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:51 


06/09/14
71
Nemiroff в сообщении #931945 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно
Это неверно, пример достаточно простой: пусть $q_k$ — рациональные, $A_k = (q_k - \frac{1}{2^k}, q_k + \frac{1}{2^k})$, $A = \bigcup_k A_k$.

Это была рабочая гипотеза) с ней уже давно покончено

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:27 


13/08/14
349
Pretty Kitty в сообщении #931944 писал(а):
$G_\delta$ - класс всех множеств, которые можно представить как счетное пересечение открытых

Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Evgenjy в сообщении #931974 писал(а):
Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.
Разве? Разве не существует не-борелевских множеств на прямой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:43 


06/09/14
71
provincialka в сообщении #931977 писал(а):
Evgenjy в сообщении #931974 писал(а):
Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.
Разве? Разве не существует не-борелевских множеств на прямой?

Я же только что доказал, что рациональные числа не будут счетным пересечением открытых. И не-борелевские тоже должны быть насколько я помню лекцию, хотя примера не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:43 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
grizzly в сообщении #931952 писал(а):
Разве счётное пересечение всех этих множеств не противоречит следующему утверждению:
Нет. Пусть $\mathbb{Q} = \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i$. Тогда $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcup_{i=1}^{\infty} U_i^c$. У иррациональных пустая внутренность, поэтому у каждого $U_i^c$ пустая внутренность, поэтому каждое из них нигде не плотно, поэтому их объединение — множество первой категории. Иррациональные — множество второй категории, так что получаем противоречие.
Evgenjy в сообщении #931974 писал(а):
Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.
Бред незамутнённый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Nemiroff
Спасибо! стало понятно и очень интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Nemiroff
А как из
Nemiroff в сообщении #931988 писал(а):
поэтому у каждого $U_i^c$ пустая внутренность

следует
Nemiroff в сообщении #931988 писал(а):
поэтому каждое из них нигде не плотно

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:00 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
kp9r4d, я привык, что это просто определение нигде не плотного множества. А вы каким определением пользуетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Такого определения здесь, конечно, мало (ср. $\mathbb Q$). Принципиально, наверное, что множества замкнуты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:11 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
grizzly в сообщении #932043 писал(а):
Принципиально, наверное, что множества замкнуты.
Да-да, нигде не плотное множество — такое, у которого замыкание имеет пустую внутренность. В данном случае $U_i^c$ замкнуты, так что их замыкание совпадает с ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Nemiroff
Да, точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение17.11.2014, 13:25 


13/08/14
349
grizzly в сообщении #931952 писал(а):
Построим по аналогии для той же нумерации рациональных чисел множества $A^3, A^4,...$.

Разве счётное пересечение всех этих множеств не противоречит следующему утверждению:
Nemiroff в сообщении #931943

писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931806

писал(а):
множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых


Вы Pretty Kitty и grizzly разобрались раньше меня. Я сильно заблуждался, но теперь тоже понял, в чем дело. Получается, что пересечение $A^3, A^4,...$ кроме всех рациональных чисел содержит иррациональные и достаточно много для того, чтобы быть множеством второй категории, но не слишком много и имеет меру ноль. А его дополнение состоит не из всех иррациональных чисел, имеет первую категорию , но мера пересечения с каждым отрезком равна мере самого отрезка.
Спасибо Nemiroff

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group