2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нарушить теорему Семереди
Сообщение11.11.2014, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/03/06
406
Moscow
Прослушав подкаст на Постнауке: http://postnauka.ru/video/36221

я сперва подумал, что теорема Семереди интуитивно понятна. Действительно, множество натуральных чисел бесконечно и, как их ни раскрашивай, всё равно там останутся всевозможные подпоследовательности.

Но потом мне пришло в голову, допустим, что если я возьму числа $2^N$, то что, среди них тоже можно найти прогрессию любой длины?

Или я что-то не так понял в формулировке теоремы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение11.11.2014, 16:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dims в сообщении #929696 писал(а):
если я возьму числа $2^N$, то что, среди них тоже можно найти прогрессию любой длины?
Какое там любой длины, не найдёте даже прогрессии длины 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение11.11.2014, 16:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
А при чём тут числа $2^N$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение11.11.2014, 16:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dims в сообщении #929696 писал(а):
Или я что-то не так понял в формулировке теоремы?
Возможно, судя по примеру со степенями двойки. Этот пример не удовлетворяет условиям теоремы: степеней двойки на отрезке $[1,N]$ слишком мало ($O(\log{N})$), а множество $A$ должно иметь мощность $\delta N$ с некоторым фиксированным $\delta>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение11.11.2014, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

Давным-давно (лет 10 тому) с огромным интересом следил за попытками найти ограничения с другой стороны (как здесь, например). Это, правда, больше Computer Science, чем математика, зато можно было и самому пробовать.

Помню, какой энтузиазм вызвало первое сообщение, что между 1 и 1092 $(< 3^7/2)$ помещается 128 $(= 2^7)$ чисел, не содержащих прогрессий длины 3. (Кто знает, поймёт :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение11.11.2014, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/03/06
406
Moscow
То есть, суть условий теоремы в том, что последовательность "покрашенных" чисел должна иметь плотность не ниже заданной на всей бесконечной числовой оси? Понятно.

-- Вт ноя 11, 2014 17:38:59 --

В том же подкасте была упомянута теорема, что простые числа обладают этим свойством (среди них можно выделить любую прогрессию). Означает ли это, что плотность простых чисел не опускается ниже некоторого значения?

-- Вт ноя 11, 2014 17:41:07 --

Нет, судя по Вики, это не так.

Означает ли это, что теорему Семереди, вероятно, можно усилить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение13.11.2014, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Dims в сообщении #929696 писал(а):
Прослушав подкаст на Постнауке: http://postnauka.ru/video/36221

я сперва подумал, что теорема Семереди интуитивно понятна. Действительно, множество натуральных чисел бесконечно и, как их ни раскрашивай, всё равно там останутся всевозможные подпоследовательности.

Но потом мне пришло в голову, допустим, что если я возьму числа $2^N$, то что, среди них тоже можно найти прогрессию любой длины?

Или я что-то не так понял в формулировке теоремы?


Такая уж наука математика.
что-то интуитивно ясное
может оказаться
неверным

 Профиль  
                  
 
 Re: Нарушить теорему Семереди
Сообщение15.11.2014, 05:35 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Dims в сообщении #929752 писал(а):
Означает ли это, что теорему Семереди, вероятно, можно усилить?


Существует гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях, утверждающая что если

$$
\sum_{n\in A} \frac{1}{n} = \infty
$$

, то $A$ содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины. Не доказана до сих пор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group