ТЮМ 2014

[Edward_Tur]

№ 2. Оля записала в тетради двойное тождество, после чего зачитала его вслух:
Икс плюс икс на икс плюс икс на икс плюс икс на икс плюс икс равняется икс плюс икс на икс плюс икс на икс плюс икс равняется икс плюс икс на икс плюс икс.
Приведите пример тождества, которое могла записать Оля, или докажите, что девочка ошиблась.

№ 6. ${a_1},{a_2}, \ldots ,{a_k}$ и ${b_1},{b_2}, \ldots ,{b_m}$ - такие положительные действительные числа, что $\sqrt[n]{{{a_1}}} + \sqrt[n]{{{a_2}}} + \ldots + \sqrt[n]{{{a_k}}} = \sqrt[n]{{{b_1}}} + \sqrt[n]{{{b_2}}} + \ldots + \sqrt[n]{{{b_m}}}$ для всех натуральных $n \ge 2$.
6.1. Доказать, что $k=m$.
6.2. Доказать, что ${a_1}{a_2} \ldots {a_k} = {b_1}{b_2} \ldots {b_m}$.
6.3. Если каждый из двух заданных наборов чисел упорядочить за возрастанием, то после этого эти наборы станут одинаковыми. Доказать.

№ 10. Числа ${F_n} = {2^{{2^n}}} + 1$ называются числами Ферма. Для $n \ge 3$ представьте каждое из них в виде суммы квадратов трёх различных натуральных чисел.

№ 11. У Коли есть набор из 2014 фигурок: 1007 уголков (тримино) и 1007 зигзагов (тетрамино). Какое наибольшее количество квадратов, каждый из которых состоит из нечётного количества клеточек, может выложить Коля, если уголки и зигзаги разрешается произвольным образом вращать и переворачивать?

№ 13. На окружности размещены $n$ шариков, пронумерованных в произвольном порядке ($n \ge 3$). Делается обход по часовой стрелке. Шарики, для которых номер на предыдущем шарике меньше номера на следующем шарике, выкрашены в белый цвет, а остальные - в чёрный. Две раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми. Сколько может получиться различных раскрасок?

№ 15. Пускай $P(x) = {a_m}{x^m} + {a_{m - 1}}{x^{m - 1}} + \ldots + {a_0}$ и $Q(x) = {b_n}{x^n} + {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \ldots + {b_0}$ - два многочлена, причём их коэффициенты равны 1 или 2014. Известно, что $Q(x)$ делится на $P(x)$. Докажите, что $m+1$ является делителем числа $n+1$.

№ 17. Катя и Миша имеют по калькулятору. Катин калькулятор может либо увеличить число на 1, либо умножить число на 2. Калькулятор Миши также может увеличивать число на 1, но умножает на 3. Никакие иные операции калькуляторы не выполняют. В начальный момент на обоих калькуляторах нули.
17.1. Катя и Миша хотят получить на своих калькуляторах из нуля число 2013. Какое наименьшее количество операций понадобится для этого Кате, а какое Мише?
17.4. Конечно ли множество всех натуральных чисел, для получения которых Катя может выполнить на своём калькуляторе меньше операций, чем Миша?

№ 19. Пускай ${Z^ + }$ - множество всех неотрицательных целых чисел, $n$ и $k$ - заданные натуральные числа. Найдите все такие неубывающие функции $f:{Z^ + } \to {Z^ + }$, что $f\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {a_i^n} } \right) = \frac{1}{k}\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{\left( {f({a_i})} \right)}^n}}$ для произвольных ${a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n} \in {Z^ + }$.

№ 22. В треугольнике $ABC$ на сторонах $BC,CA,AB$ отмечено основания высот ${H_1},{H_2},{H_3}$ и середины сторон ${M_1},{M_2},{M_3}$; $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$. Пускай ${X_2},{X_3}$ - это точки, симметричные ${H_1}$ относительно ${BH_2}$ и ${CH_3}$; прямые ${M_3}{X_2}$ и ${M_2}{X_3}$ пересекаются в точке $X$. Аналогично - ${Y_3},{Y_1}$ - это точки, симметричные ${H_2}$ относительно ${CH_3}$ и ${AH_1}$; прямые ${M_1}{Y_3}$ и ${M_3}{Y_1}$ пересекаются в точке $Y$. Наконец, ${Z_1},{Z_2}$ - это точки, симметричные ${H_3}$ относительно ${AH_1}$ и ${BH_2}$; прямые ${M_1}{Z_2}$ и ${M_2}{Z_1}$ пересекаются в точке $Z$. Доказать, что $H$ - инцентр треугольника $XYZ$.

[ИСН]

Колысь вже читав це.

[hippie]

#10.
Ответ: $2^{2^n}+1 = \left( \frac{2^{2^{n-1}}+2}3 \right)^2 + \left( \frac{2^{2^{n-1}+1}-2}3 \right)^2 + \left( \frac{2^{2^{n-1}+1}+1}3 \right)^2.$

#11.
Ответ: 67.
(При этом останутся неиспользованными 2 тримино и 940 тетрамино.)

[nnosipov]

hippie в сообщении #925357 писал(а):

Ответ: $2^{2^n}+1 = \left( \frac{2^{2^{n-1}}+2}3 \right)^2 + \left( \frac{2^{2^{n-1}+1}-2}3 \right)^2 + \left( \frac{2^{2^{n-1}+1}+1}3 \right)^2.$

Ух ты, я не догадался. Хотя понятно, что что-то в этом роде должно было быть.

[Edward_Tur]

hippie в сообщении #925357 писал(а):

#10.
$2^{2^n}+1 = \left( \frac{2^{2^{n-1}}+2}3 \right)^2 + \left( \frac{2^{2^{n-1}+1}-2}3 \right)^2 + \left( \frac{2^{2^{n-1}+1}+1}3 \right)^2.$

Или так:
${2^{{2^n}}} + 1 = {\left( {{2^{{2^{n - 1}}}} - {2^{{2^{n - 2}} + 1}}} \right)^2} + {\left( {{2^{{2^{n - 2}} + {2^{n - 3}} + 1}} - {2^{{2^{n - 3}} + 1}}} \right)^2} + {\left( {{2^{{2^{n - 2}} + 1}} - 1} \right)^2}$.

[mihiv]

6.1 При $n\to \infty $ предел левой части равенства равен $k$, а предел правой части равен $m$.Следовательно, $k=m$.
6.2 По формуле Тэйлора для больших $n, \sqrt[n] a_1+\sqrt[n] a_2+\dots +\sqrt[n] a_k=k+\frac 1n\sum \limits _{i=1}^k\ln a_i+O(\frac 1{n^2})$, аналогично $\sqrt[n] b_1+\dots +\sqrt[n] b_k=k+\frac 1n\sum \limits _{i=1}^k\ln b_i+O(\frac 1{n^2})$, отсюда $\ln (a_1\dots a_k)=\ln (b_1\dots b_k)$.

[Roman Kotyk]

Хотелось бы узнать решение задачи №23 - "Инверсия"

[Edward_Tur]

mihiv в сообщении #926678 писал(а):

6.2 По формуле Тэйлора для больших $n, \sqrt[n] a_1+\sqrt[n] a_2+\dots +\sqrt[n] a_k=k+\frac 1n\sum \limits _{i=1}^k\ln a_i+O(\frac 1{n^2})$, аналогично $\sqrt[n] b_1+\dots +\sqrt[n] b_k=k+\frac 1n\sum \limits _{i=1}^k\ln b_i+O(\frac 1{n^2})$, отсюда $\ln (a_1\dots a_k)=\ln (b_1\dots b_k)$.

6.3 Аналогично $\sum \limits _{i=1}^k\ln^2 a_i$=\sum \limits _{i=1}^k\ln^2 b_i,\sum \limits _{i=1}^k\ln^3 a_i$=\sum \limits _{i=1}^k\ln^3 b_i,\dots$ .
Получаем известную задачу: если $\sum \limits _{i=1}^k x^n_i=\sum \limits _{i=1}^k y^n_i$ для всех натуральных $n$, то наборы $x_1,\dots,x_k$ и $y_1,\dots,y_k$ станут одинаковыми, если каждый из них упорядочить за возрастанием.

[Roman Kotyk]

2. Подойдет, например, такое тождество
$((x+x) \cdot x+x)\frac{x+x}{x+x}=(x+x)\cdot(x+\frac{x}{x+x})=(x+x) \cdot x+x$

[Edward_Tur]

Roman Kotyk в сообщении #926993 писал(а):

2. Подойдет, например, такое тождество
$((x+x) \cdot x+x)\frac{x+x}{x+x}=(x+x)\cdot(x+\frac{x}{x+x})=(x+x) \cdot x+x$

или такое:

$$\left( {x + \frac{x}{{x + x}}} \right) \cdot \left( {\frac{{x + x}}{{x + x}}} \right) = \frac{{(x + x) \cdot x + x}}{{x + x}} = x + \frac{x}{{x + x}}.$$

Если под действием "на" подразумевать только умножение или только деление, то девочка ошиблась.

[Roman Kotyk]

№23. Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ с центром $I$ касается сторон $AB,BC,CA$ в точках $C_{1}, A_{1}, B_{1}$. Описанная окружность треугольника $AB_{1}C_{1}$ во второй раз пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$. Пусть $M$ - середина $BC$, $L$ - середина $B_{1}C_{1}$. Описанная окружность треугольника $KA_{1}M$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $T$. Доказать, что описанные окружности треугольников $KLT$ и $LIM$ касаются.

[dm]

Финал
https://dl.dropboxusercontent.com/u/157 ... M_2014.pdf
http://cs619229.vk.me/v619229034/20c7d/q5QxJvkXuq8.jpg
(на украинском)

[hippie]

Финал.

#3.
$x^4+y^4-x^2(x+y)\frac{3y-x}2=(x-y)^2(\frac 32 x^2+2xy+y^2)\ge 0,$ следовательно $\frac {x^4+y^4}{x^2(x+y)}\ge \frac {3y-x}2.$
Аналогично $\frac {y^4+z^4}{y^2(y+z)}\ge \frac {3z-y}2$ и $\frac {z^4+x^4}{z^2(z+x)}\ge \frac {3x-z}2.$
Таким образом $\frac {x^4+y^4}{x^2(x+y)}+\frac {y^4+z^4}{y^2(y+z)}+\frac {z^4+x^4}{z^2(z+x)}\ge \frac {3y-x+3z-y+3x-z}2 = x+y+z \ge 3.$

#4.
Ответ: $a=b=1,\ c=3.$

Поскольку $3^b+1$ не может быть кратно 8, то либо $c \le 3$ либо $a \le 2.$ Во втором случае $2^a+1$ не может быть кратно 9, и, следовательно $c \le 5.$

#7.
Ответ: 59.

[hippie]

Финал.

#1.
Ответ: $\{(1;\ 1);\ (2;\ 3)\}.$

Поскольку $n$ и $m$ взаимно простые, то $n-1$ кратно $m$ и $m^2-1$ кратно $n,$ т.е. $n=km+1$ и $m^2=ln+1=lkm+l+1.$ Таким образом $l+1$ кратно $m.$
$m=n=1$ является решением.
При $m>1$ (и, соответственно, $n>1$) имеем $k>0,\ l>0.$ Тогда $k=1, l=m-1$ (иначе $lkm+l+1>m^2$). Следовательно $n=m+1$ и $m^3-m=m^2+m,$ откуда $m=2.$

[hippie]

Финал.

#2.
Ответ: $\sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}.$

#6.
Ответ: $f(x)\equiv 0.$

Подставляя $y=\frac {x^{2014}+f(x)}2$ получаем $f\left( \frac {x^{2014}-f(x)}2 \right) = f\left( \frac {x^{2014}-f(x)}2 \right) - 2013 \frac {x^{2014}+f(x)}2 f(x),$ т.е. $(x^{2014}+f(x)) f(x)=0.$ Таким образом, при каждом $x$ либо $f(x)=0,$ либо $f(x)=-x^{2014}.$ В частности, $f(0)=0$ и $f(x) \le 0$ при всех $x.$
При $x \ne 0$ подставим $y=x^{2014}.$ Получаем $(0 \ge) f(x^{2014}-f(x)) = 0 - 2013x^{2014}f(x) \ge 0,$ т.е. $f(x)=0.$