2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Регулярные функции с сохранением значения на множестве
Сообщение04.10.2014, 13:47 


11/05/13
187
Требуется найти все функции $w(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, такие что функция $p(x,y)=\sqrt{u^2(x,y)+v^2(x,y)}$ сохраняла бы постоянное значение на окружности $x^2+y^2=C$

Чтобы существовала регулярная функция необходимо равенство нулю лапласиана $u$ и $v$, а что бы $p(x,y)$ была константой на окружности необходимо чтобы $\frac{\partial p}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{\partial p}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=0, t=x^2+y^2$. Этих условий достаточно, чтобы найти $w(z)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Регулярные функции с сохранением значения на множестве
Сообщение04.10.2014, 16:05 


11/05/13
187
Причем если $u$ и $v$ постоянны на окружности, то модуль конечно же тоже будет постоянным, но ведь есть ещё функции $p$ у которых $u$ и $v$ не постоянны, а сама $ p(u(x,y),v(x,y))$ постоянна. Как найти все?

 Профиль  
                  
 
 Re: Регулярные функции с сохранением значения на множестве
Сообщение03.11.2014, 18:45 


11/05/13
187
$\omega = u(x,y)+i v(x,y)$

$
\begin{cases}
P=\sqrt{u^2+v^2} \\
x^2+y^2=\operatorname{const} \\
\end{cases}

$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

С другой стороны, если $P=\operatorname{const}$ при условии что $x^2+y^2= \operatorname{const}$, то $P$ должна быть функцией $x^2+y^2$, т. е. $P=P(x^2+y^2)=P(t)$, где $t=x^2+y^2$
$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}$
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}$

$
+ \begin{cases}
\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}(\frac{\partial t}{\partial x})^2+\frac{\partial P}{\partial t} \frac{\partial^2 t}{\partial x^2}\\
\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}(\frac{\partial t}{\partial y})^2+\frac{\partial P}{\partial t} \frac{\partial^2 t}{\partial y^2}\\
\end{cases}
$\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} \left((\frac{\partial t}{\partial x})^2+(\frac{\partial t}{\partial y})^2 \right)+\frac{\partial P}{\partial t} \left(\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial y^2} \right)$ (1)

$+ \begin{cases}
\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}(\frac{\partial u}{\partial x})^2+\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2}(\frac{\partial v}{\partial x})^2+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \\
\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}(\frac{\partial u}{\partial y})^2+\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2}(\frac{\partial v}{\partial y})^2+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \\
\end{cases}$

С учетом уравнения Лапласа $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ и $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$ получается
$\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 P}{\partial u^2} \left((\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2 \right)+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2} \left((\frac{\partial v}{\partial x})^2+(\frac{\partial v}{\partial y})^2 \right)$

а также применяя условия Коши-Римана $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}= \left((\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2 \right) \left(\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2} \right)$ (2)

т. е., учитывая (1) и (2)
$\left((\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2 \right) \left(\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2} \right)=\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} \left((\frac{\partial t}{\partial x})^2+(\frac{\partial t}{\partial y})^2 \right)+\frac{\partial P}{\partial t} \left(\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial y^2} \right)$

Для исключения $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}$ необходимо решить линейную систему
$
\begin{cases}
\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x} \\
\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y} \\
\end{cases}
$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}{\frac{\partial P}{\partial u}} \\
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}}{\frac{\partial P}{\partial u}} \\
\end{cases}

Применяя условия Коши-Римана получается
$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial u}{\partial y}}{\frac{\partial P}{\partial u}} \\
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial P}{\partial u}} \\
\end{cases}
$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial u}{\partial x}}{\frac{\partial P}{\partial u}}}{\frac{\partial P}{\partial u}} \\
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\frac{\partial P}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial u}{\partial y}}{\frac{\partial P}{\partial u}}}{\frac{\partial P}{\partial u}} \\
\end{cases}
$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{\partial P}{\partial t}(\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial t}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial t}{\partial y})}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2}=\frac{\frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial v}}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2} \\
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial P}{\partial t}(\frac{\partial P}{\partial v}\frac{\partial t}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial u}\frac{\partial t}{\partial y})}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2}=\frac{-\frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial v}+\frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial u}}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2} \\
\end{cases}

В итоге получается диффур для нахождения $P(t(x,y))$
$\left[ \left(\frac{\frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial v}}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2} \right)^2+ \left(\frac{-\frac{\partial P}{\partial x}\frac{\partial P}{\partial v}+\frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial P}{\partial u}}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2} \right)^2 \right] \left(\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2} \right)=\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} \left((\frac{\partial t}{\partial x})^2+(\frac{\partial t}{\partial y})^2 \right)+\frac{\partial P}{\partial t} \left(\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial y^2} \right)$

$\left(\frac{\partial P}{\partial t} \right)^2 \left(\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 P}{\partial v^2} \right) \left((\frac{\partial t}{\partial x})^2+(\frac{\partial t}{\partial y})^2 \right)=\left[\frac{\partial^2 P}{\partial t^2} \left((\frac{\partial t}{\partial x})^2+(\frac{\partial t}{\partial y})^2 \right)+\frac{\partial P}{\partial t} \left(\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial y^2} \right) \right] \left( (\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2 \right)$

По условию сохранения модуля
$
\begin{cases}
P=\sqrt{u^2+v^2} \\
x^2+y^2=t \\
\end{cases}

$
\begin{tabular}{lll}
$\frac{\partial P}{\partial u}=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}$ & $\frac{\partial t}{\partial x}=2x$ & $(\frac{\partial t}{\partial x})^2=4x^2$ \\
$\frac{\partial^2 P}{\partial u^2}=\frac{v^2}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}$ & $\frac{\partial^2 t}{\partial x^2}=2$ & $(\frac{\partial t}{\partial y})^2=4y^2$ \\
$\frac{\partial P}{\partial v}=\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}$ & $\frac{\partial t}{\partial y}=2y$ & $(\frac{\partial P}{\partial u})^2=\frac{u^2}{u^2+v^2}$ \\
$\frac{\partial^2 P}{\partial v^2}=\frac{u^2}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}$ &$\frac{\partial^2 t}{\partial y^2}=2$ & $(\frac{\partial P}{\partial v})^2=\frac{v^2}{u^2+v^2}$ \\
\end{tabular}$

В частном случае, при сохранении модуля, диффур становится однородным, второго порядка
$-4\frac{\partial P}{\partial t}-4\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}(x^2+y^2)+\frac{4(\frac{\partial P}{\partial t})^2(x^2+y^2)}{\sqrt{u^2+v^2}}=0$
$\frac{\partial^2 P}{\partial t^2}t-(\frac{\partial P}{\partial t})^2\frac{t}{P}+\frac{\partial P}{\partial t}=0$
Замена: $\frac{\partial P}{\partial t}=P(t) z(t) \qquad \frac{\partial^2 P}{\partial t^2}=\frac{\partial P}{\partial t} z(t)+P(t)\frac{\partial z}{\partial t}=P(t) z^2(t)+P(t)\frac{\partial z}{\partial t}$

$\frac{\partial z}{\partial t} tP-z^2 \frac{t}{P}P^2+Ptz^2+P z=0$
$z=\frac{c_1}{t}$
$\frac{\partial P}{\partial t}=P\frac{c_1}{t}$

$P=c_2t^{c_1}=c_2(x^2+y^2)^{c_1}$

Для нахождения $u$ и $v$ лучше перейти в полярную систему координат, поскольку интегралы будут легче в пять раз
$u=u(\rho,\varphi) \qquad v=v(\rho,\varphi)$

$
\begin{cases}
x= \rho \cos  \varphi$ \\
y= \rho \sin  \varphi$ \\
\end{cases}$

$P(\rho,\varphi)=P(\rho)=c_2 \rho^{2c_1}$

Условия Коши-Римана в полярной системе координат
$\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{\partial v}{\partial \varphi}$
$\frac{\partial u}{\partial \varphi}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial v}{\partial \rho}$

Функции $\frac{\partial u}{\partial \rho}(\frac{\partial P}{\partial u},\frac{\partial P}{\partial v},\frac{\partial P}{\partial \rho},\frac{\partial P}{\partial \varphi})$ и $\frac{\partial u}{\partial \varphi}(\frac{\partial P}{\partial u},\frac{\partial P}{\partial v},\frac{\partial P}{\partial \rho},\frac{\partial P}{\partial \varphi})$ также незначительно изменятся
$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{\rho\frac{\partial P}{\partial \rho}\frac{\partial P}{\partial u}+\frac{\partial P}{\partial \varphi}\frac{\partial P}{\partial v}}{\rho \left((\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2 \right)} \\
\frac{\partial u}{\partial \varphi}=\frac{-\rho \frac{\partial P}{\partial \rho}\frac{\partial P}{\partial v}+\frac{\partial P}{\partial \varphi}\frac{\partial P}{\partial u}}{(\frac{\partial P}{\partial u})^2+(\frac{\partial P}{\partial v})^2} \\
\end{cases}$

$
\begin{tabular}{ll}
$P=c_2 \rho^{2c_1}$ \\
$\frac{\partial P}{\partial \rho}=2c_1c_2 \rho^{2c_1-1}$ & $\frac{\partial P}{\partial \varphi}=0$ \\
$\frac{\partial P}{\partial u}=\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}$ & $\frac{\partial P}{\partial v}=\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}$
\end{tabular}$

$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{\rho \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}2c_1c_2 \rho^{2c_1-1}}{\rho}=2c_1 \frac{u}{\rho} \\
\frac{\partial u}{\partial \varphi}=-\rho \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}2c_1c_2 \rho^{2c_1-1}=-2c_1\sqrt{{c_2}^2\rho^{4c_1}-u^2} \\
\end{cases}$$

С точностью до знаков, пусть $2c_1=c_1; {c_2}^2=c_2$
$
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial \rho}=c_1 \frac{u}{\rho} \\
\frac{\partial u}{\partial \varphi}=-c_1\sqrt{c_2\rho^{2c_1}-u^2} \\
\end{cases}$$

Чтобы найти $u(\rho,\varphi)$ необходимо решить ДУ в частных производных
$(\frac{\partial u}{\partial \varphi})^2={c_1}^2(c_2\rho^{2c_1}-u^2)$
$\partial \varphi^2=\frac{\partial u^2}{{c_1}^2(c_2\rho^{2c_1}-u^2)}$
$\partial \varphi=\pm \frac{\partial u}{c_1\sqrt{c_2\rho^{2c_1}-u^2}}$

Ответ от выбора знака не зависит
$\varphi=c_1^{-1}\arctg (\frac{u}{\sqrt{c_2\rho^{2c_1}-u^2}})+\widetilde c_3(\rho)$
$u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3(\rho))$

$\frac{\partial u}{\partial \rho}=c_1\sqrt{c_2}\rho^{c_1-1}\sin(c_1 \varphi+c_3(\rho))+\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3(\rho))\frac{\partial c_3(\rho)}{\partial \rho}=c_1 \frac{u}{\rho}=c_1 \frac{\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3(\rho))}{\rho}$
$\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3(\rho))\frac{\partial c_3(\rho)}{\partial \rho}=0$
$\frac{\partial c_3(\rho)}{\partial \rho}=0$
$c_3(\rho)=c_3$

$u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3)$

Осталось найти $v(\rho,\varphi)$
$\frac{\partial u}{\partial \rho}=c_1\sqrt{c_2}\rho^{c_1-1}\sin(c_1 \varphi+c_3)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial v}{\partial \varphi}$

$v(\rho,\varphi)=\int{c_1\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3)d\varphi}=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4(\rho)$

$\frac{\partial v}{\partial \rho}=-c_1\sqrt{c_2}\rho^{c_1-1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+\frac{\partial c_4(\rho)}{\partial \rho}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \varphi}=-c_1\frac{\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)}{\rho}$
$\frac{\partial c_4(\rho)}{\partial \rho}=0$
$c_4(\rho)=c_4$

С учетом начального условия $P(\rho^2)=\operatorname{const}$ из множества аналитических функций $v$ необходимо выбрать такие, которые в паре с функцией $u$ постоянны вдоль любой линии семейства окружностей
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
\sqrt{u^2+v^2}=\operatorname{const} \\
\rho^2=\operatorname{const} \\
\end{cases}$
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
u^2+v^2=\operatorname{const} \\
\rho^2=\operatorname{const} \\
\end{cases}$
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
d \left( \left(u(\rho=\operatorname{const},\varphi) \right)^2+ \left(v(\rho=\operatorname{const},\varphi) \right)^2 \right)=0 \\
\end{cases}$
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
\frac{\partial  \left(u(\rho=\operatorname{const},\varphi) \right)^2}{\partial \varphi}+\frac{\partial \left(v(\rho=\operatorname{const},\varphi)^2 \right)}{\partial \varphi}=0 \\
\end{cases}$
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
\frac{\partial \left(\left(\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \right)^2 \right)}{\partial \varphi}+\frac{\partial \left( \left(\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \right)^2 \right)}{\partial \varphi}=0 \\
\end{cases}$
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
-2c_1\sqrt{c_2}c_4\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) =0 \\
\end{cases}$
$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)+c_4 \\
c4=0 \\
\end{cases}$

$\begin{cases}
u(\rho,\varphi)=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3) \\
v(\rho,\varphi)=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3) \\
\end{cases}$

$\omega=\sqrt{c_2}\rho^{c_1}\sin(c_1 \varphi+c_3)-i \sqrt{c_2}\rho^{c_1}\cos(c_1 \varphi+c_3)=$
$=-\sqrt{c_2}\rho^{c_1} i(\cos(c_1 \varphi+c_3)+i \sin(c_1 \varphi+c_3))=$
$=-\sqrt{c_2} i e^{\ln \rho^{c_1}}e^{i(c_1 \varphi+c_3)}=-\sqrt{c_2} i e^{\ln \rho^{c_1}}e^{i c_1 \varphi}e^{c_3}=$
$=-\sqrt{c_2} e^{c_3} i (e^{\ln \rho}e^{i \varphi})^{c_1}=(-\sqrt{c_2}i\cos (c_3)+\sqrt{c_2}\sin(c_3))e^{c_1 \ln z}$

$\omega=(c_1+c_2i)e^{c_3 \ln z}$

Волковыский 1.182, 1.183, 1.184, 1.185, 1.186

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group