2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 12:47 


18/02/10
254
Допустим, у меня стоит задача о поиске собственных значений некой матрицы, достаточно большой. Собственные значения будут нулями характеристического многочлена. Как понять, где эти собственные значения находятся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 13:58 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Вы таки глобальны как потепление климата Земли. Не, как расширение Вселенной.
Есть уйма теории по поиску либо отделению корней многочленов. Есть немало методов нахождения собственных чисел и векторов, не требующих выписывания характеристического многочлена. Конкретной сылки не дам, но, смею уверить, простейший поиск даст вам миллионы ссылок (и таки нет, не обязательно читать их все; достаточно будет выбрать парочку).

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 14:36 


18/02/10
254
iifat в сообщении #924736 писал(а):
Есть немало методов нахождения собственных чисел и векторов, не требующих выписывания характеристического многочлена.

Например?
Упомянутая матрица состоит не из циферок, а из буковок. Между буковками есть определенные, линейные соотношения плюс ограничения неравенствами, которые я выписывать не буду, конкретный вид не важен. Так вот, необходимо как-то выяснить, какие ограничения наложатся на собственные значения матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ChaosProcess в сообщении #924743 писал(а):
...
Упомянутая матрица состоит не из циферок, а из буковок. Между буковками есть определенные, линейные соотношения плюс ограничения неравенствами, которые я выписывать не буду, конкретный вид не важен. Так вот, необходимо как-то выяснить, какие ограничения наложатся на собственные значения матрицы.
Понятно, что такие суровые ограничения на буковки, конкретный вид которых не важен, обязательно повлекут не менее суровые, но секретные ограничения на собственные значения матрицы! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 15:16 


18/02/10
254
Brukvalub в сообщении #924745 писал(а):
Понятно, что такие суровые ограничения на буковки, конкретный вид которых не важен, обязательно повлекут не менее суровые, но секретные ограничения на собственные значения матрицы! :D

Да я могу выписать, но это будет конкретная задача для данного размера матрицы, для другого будут другие ограничения. Мне нужен общий метод.
Ну вот например, эрмитова матрица 4x4, все диагональные являются линейными функциями $a_{11}$:
$$a_{22}=a-a_{11}$$
$$a_{33}=b-a_{11}$$
$$a_{44}=a+b-1+a_{11}$$.
Кроме того $0\leqslant a_{11}\leqslant 1$.($a_{11}\in R$).
На недиагональные элементы ограничения:
$$a_{12}=-a_{34};\; a_{13}=-a_{24}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
По-моему, там остаётся достаточно свободы, чтоб получился любой полином и любые корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 15:36 


18/02/10
254
Да, совсем забыл: $a,b\in R$ и $a,b\in [0,1]$.
ИСН в сообщении #924753 писал(а):
По-моему, там остаётся достаточно свободы, чтоб получился любой полином и любые корни.

Конкретно здесь точно будут ограничения на собственные значения, это можно показать независимым способом.
Другое дело, что этот способ не работает в общем случае матриц произвольной размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Как можно найти какие-нибудь ограничения на собственные числа матрицы, зная только информацию о том, что "элементы матрицы связаны ограничениями"?
Напоминает известную загадку Швейка: "Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше — два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара бабушка?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 16:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Посмотрите: "круги Гершгорина".

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 16:36 


18/02/10
254
mihiv в сообщении #924763 писал(а):
Посмотрите: "круги Гершгорина".

Вот это уже интригующе.
Неплохая теорема, но условия слишком слабые получатся.
Brukvalub в сообщении #924761 писал(а):
Как можно найти какие-нибудь ограничения на собственные числа матрицы, зная только информацию о том, что "элементы матрицы связаны ограничениями"?

Методами алгебраической геометрии как-то можно. Я в ней не разбираюсь, поэтому и написал сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ChaosProcess в сообщении #924767 писал(а):
...
Brukvalub в сообщении #924761 писал(а):
Как можно найти какие-нибудь ограничения на собственные числа матрицы, зная только информацию о том, что "элементы матрицы связаны ограничениями"?

Методами алгебраической геометрии как-то можно. Я в ней не разбираюсь, поэтому и написал сюда.

Как же последняя фраза похожа на знаменитое "Пастернака я не читал, но сурово осуждаю!" :D Как вы догадались, что "Методами алгебраической геометрии как-то можно", если в алгебраической геометрии не разбираетесь? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ нулей многочлена
Сообщение31.10.2014, 19:45 


18/02/10
254
Brukvalub в сообщении #924800 писал(а):
Как же последняя фраза похожа на знаменитое "Пастернака я не читал, но сурово осуждаю!" :D Как вы догадались, что "Методами алгебраической геометрии как-то можно", если в алгебраической геометрии не разбираетесь? :shock:

Умные люди сказали.
А еще вот это https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group