2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 максимум скалярного произведения функций
Сообщение18.10.2014, 20:39 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Пусть для функций $f(x,t)$ и $g(y,t)$ заданных на $(x,t)=[0,\infty)\times [0,\infty)$ определена операция скалярного умножения
$$
(f,g)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,g(y,t)\,dt.
$$

Рассмотрим теперь
$$
(f,f)[x,y]
=
\int_0^\infty e^{-t^2} f(x,t)\,f(y,t)\,dt.
$$

Требуется показать, что $\sup_{x,y}(f,f)[x,y]=\sup_{x}(f,f)[x,x]$. Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:
$$
|(f,f)[x,y]|^2
\leq
|(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]|
$$
где равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$? И далее берется $\sup$ от правой и левой частей.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение18.10.2014, 20:59 


21/08/14
70
может быть просто равенство градиента нулевому вектору ? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение19.10.2014, 08:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ecartman в сообщении #920381 писал(а):
Достаточно ли тут просто использовать нер-во Коши-Буняковского следующим образом:
$$
|(f,f)[x,y]|^2
\leq
|(f,f)[x,x]||(f,f)[y,y]|
$$
где равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y$?

Достаточно, только последнее утверждение неверно (в обоснование надо произносить совсем другие слова).

 Профиль  
                  
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение20.10.2014, 00:23 
Аватара пользователя


14/02/07
93
ewert в сообщении #920620 писал(а):
Достаточно, только последнее утверждение неверно (в обоснование надо произносить совсем другие слова).


Что равенство достигается тогда и только тогда, когда $f(x,t)$ и $f(y,t)$ линейно зависимы?

 Профиль  
                  
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение20.10.2014, 06:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ecartman в сообщении #921085 писал(а):
Что равенство достигается тогда и только тогда, когда $f(x,t)$ и $f(y,t)$ линейно зависимы?

Теперь правильно, только совершенно не нужно. Достаточно взять супремумы от обеих частей плюс ещё кое-что.

 Профиль  
                  
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение26.10.2014, 05:29 
Аватара пользователя


14/02/07
93
ewert в сообщении #921124 писал(а):
Теперь правильно, только совершенно не нужно. Достаточно взять супремумы от обеих частей плюс ещё кое-что.


Если взять супремумы то получается, что $\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|^2\le(\sup_{x}|(f,f)[x,x]|)^2$, откуда следует что $\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|\le\sup_{x}|(f,f)[x,x]|$. Если теперь взять $x^*$ - значение в котором достигается максимум справа, то $(f,f)[x^*,x^*]\le\sup_{x,y}|(f,f)[x,y]|$ и отсюда следует равенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: максимум скалярного произведения функций
Сообщение26.10.2014, 08:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ecartman в сообщении #923018 писал(а):
Если теперь взять $x^*$ - значение в котором достигается максимум справа

Зачем? Неравенство $\sup\limits_{x}(f,f)[x,x]\leqslant\sup\limits_{x,y}|(f,f)[x,y]|$ тривиально даже независимо от того, что понимается под $(f,f)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group