Умножение трехмерных матриц.

[hassword]

Существует ли аналог умножение для трехмерных матриц как для двухмерных. Например умножаем три трехмерные матрицы и получаем трехмерную матрицу.Как то так.

[мат-ламер]

Можно произведение тензоров свернуть по каким-то индексам.

[Munin]

Не бывает вообще трёхмерных матриц, это миф. Бывают тензоры (произвольных рангов).

[Mysterious Light]

Munin в сообщении #922131 писал(а):

Не бывает вообще трёхмерных матриц, это миф.

Матрица $n\times m$ по определению — это функция $\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,m\} \to \mathrm{Whatever}$.

Что мешает объявить 3-мерную матрицу $n\times m \times k$ как отображение $\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,k\} \to \mathbb{R}$, например?

Ну и определить сложение таких матриц и умножение на скаляр как поточечное сложение и умножение, соответственно. Тогда вопрос остаётся: можно ли определить умножение таких 3-мерных матриц так, чтобы оно обладало свойствами умножения. Правда, не совсем понятно, как ТС представляет согласование размеров матриц. И зачем ему это понадобилось.

[hassword]

Mysterious Light в сообщении #922183 писал(а):

можно ли определить умножение таких 3-мерных матриц так, чтобы оно обладало свойствами умножения.

Например умножим матрицы $n\times m \times k$,$m\times k \times q$,$k\times w \times m$ и получим матрицу $n\times q \times w$

[TOTAL]

hassword в сообщении #922212 писал(а):

Mysterious Light в сообщении #922183 писал(а):

можно ли определить умножение таких 3-мерных матриц так, чтобы оно обладало свойствами умножения.

Например умножим матрицы $n\times m \times k$,$m\times k \times q$,$k\times w \times m$ и получим матрицу $n\times q \times w$

А если только две матрицы захочется перемножить?

[prof.uskov]

Могу порекомендовать несколько книжек по этому вопросу.

Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц
http://www.twirpx.com/file/1100866/
Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения
http://www.twirpx.com/file/386808/

Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике
http://www.twirpx.com/file/701352/
Крон Г. Тензорный анализ сетей
http://www.twirpx.com/file/420545/

Правда, первые две Munin считает неправильными, так как "многомерных матриц не существует"... но умножение там подробно расписано... В двух последних расписано умножение n-матриц с индексами.

[Утундрий]

Давайте считать, что наши матрицы это не просто матрицы, а матрицы тензоров в некотором базисе. Тогда задача будет состоять в поиске такой операции, которая переводит $p$ однотипных тензоров в единтсвенный тензор рассматриваемого типа. Собственно, выбор тут не богат - тензорные произведения и свёртки. Метрики или её аналога у нас нет, так что жонглировать индексами не получится. В такой постановке ответ - нет, не существует.

[hassword]

TOTAL в сообщении #922239 писал(а):

А если только две матрицы захочется перемножить?

Операция тернарная а не бинарная.

[Руст]

Все нормально определяется. Только предположим, что индексы не просто множество а группа.
Рассмотрим групповую алгебру $k[Z_n,Z_m,Z_k]$. Тогда 3 трехмерные матрицы размерами n*m*k, m*k*l,k*l*r
можно умножать как элементы групповой алгебры свертывая.
Но лучше считать размеры одинаковыми и ввести операцию транспонирования переставляя циклически индексы.

[Утундрий]

Руст в сообщении #922288 писал(а):

трехмерные

Лучше трёхвалентные.

В общем, ответ зависит от того, где ТС собирается такое умножение применять.

[hassword]

hassword в сообщении #922212 писал(а):

Например умножим матрицы $n\times m \times k$,$m\times k \times q$,$k\times w \times m$ и получим матрицу $n\times q \times w$

Извиняюсь, имел введу $q\times m \times k$,$n\times q \times k$,$n\times m \times q$ и получим матрицу $n\times m \times k$
тогда
$ d_{ijs} = \sum_{r=1}^q a_{rjs}b_{irs}c_{ijr} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots n;\;j=1, 2, \ldots m;\; s=1, 2, \ldots k \right).$

[Munin]

Mysterious Light в сообщении #922183 писал(а):

Матрица $n\times m$ по определению — это функция $\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,m\} \to \mathrm{Whatever}$.

Что мешает объявить 3-мерную матрицу $n\times m \times k$ как отображение $\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,k\} \to \mathbb{R}$, например?

Матрица - это не просто функция, которую вы записали. Для матриц определены операции:
- сложения, умножения на число, умножения матриц, транспонирования;
- деления и состыковки (конкатенации), перестановки столбцов и строк;
- чего-то ещё, может быть.
Для "3- и $n$-мерных матриц" их непонятно, как обобщать. Вот что мешает.

Mysterious Light в сообщении #922183 писал(а):

Ну и определить сложение таких матриц и умножение на скаляр как поточечное сложение и умножение, соответственно.

Если ограничиться только операциями сложения и умножения на скаляр, то получатся банальные векторы (размерности $n\cdot m\cdot k$). Матрицы не являются векторами (точнее, не являются "просто векторами", а отдельным понятием) именно потому, что имеют другие операции и свойства.

Наиболее естественно они обобщаются понятием тензоров. При этом некоторые свойства матриц исчезают, как не слишком удобные (они вообще вызваны линейной записью формул).

[Утундрий]

Ну, если у нас нет ни стыда ни совести, то можно и

hassword в сообщении #922300 писал(а):

$ d_{ijs} = \sum_{r=1}^q a_{rjs}b_{irs}c_{ijr} $

...и ещё изрядное количество вариантов навроде этого.

[hassword]

Munin в сообщении #922410 писал(а):

Матрица - это не просто функция, которую вы записали. Для матриц определены операции:
- сложения, умножения на число, умножения матриц, транспонирования;
- деления и состыковки (конкатенации), перестановки столбцов и строк;
- чего-то ещё, может быть.
Для "3- и $n$-мерных матриц" их непонятно, как обобщать. Вот что мешает.

а что нам мешает ввести транспонированную матрицу($A^T_{ijs} = A_{sji}$) , обратную матрицу($A\times B \times C=E$) и т.д.