2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: получить минимально фазовый импульс с заданной ачх
Сообщение18.10.2014, 10:08 
Заслуженный участник


22/11/10
1102
Для иллюстрации "высокой" теории предлагаю рассмотреть следующий пример.
Прежде всего. Поскольку сигнал $f(x)$ вещественный, то его преобразование Фурье обладает свойством $\hat f(\xi) = \overline {\hat f(-\xi)}$. В частности, функция $\psi(\xi) = |\hat f(\xi)|$ должна быть четной. Отмечу, также, что этого и достаточно для получения вещественного сигнала с заданным спектром.
Итак пример.
Пусть $\psi(\xi) = \frac {1+4\xi ^2}{1+\xi ^2}$. Мы видим четную функцию, которая не обращается в 0 и "быстро" выходит на константу при $\xi \to \pm \infty$. Теперь нам надо сосчитать интеграл
$\lambda (\xi) = -\frac {1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac {\ln (\psi(z))dz}{z - \xi}$
Интеграл считается явно (с помощью формул Сохоцкого-Племеля. Детали я опускаю). И в результате
$\lambda (\xi) = -i \ln \frac {(2\xi + i)(\xi - i)}{(2\xi - i)(\xi + i)}$
В результате получаем
$\hat f(\xi) = \psi(\xi) e^{i\lambda(\xi)} = \frac {(2\xi + i)^2}{(\xi + i)^2}$
А значит
$\hat f(\xi) = 4 - \frac {4}{1 - i\xi} + \frac {1}{(1 - i\xi)^2}$
Откуда получаем, что
$f(t) = 4\delta(t)  + (t-4)e^{-t}\chi (t)$,
где $\chi (t)$ - функция Хевисайда.

Если быть честным, то я немного схитрил. Интегралы я "напрямую" не считал, а обошелся всякими фокусами. В конечном итоге рецепт таков. Надо функцию $\psi(\xi)$ разложить на множители и разбить их на две группы. Одна из них $\Phi^+$ - аналитична и не обращается в 0 в верхней полуплоскости, а другая $\Phi^-$ - в нижней. Вы можете заметить, что результат - это просто квадрат $(\Phi^+)^2$. В моем примере $\Phi^+ (\xi) = \frac{2\xi + i}{\xi + i}$ и $\Phi^- (\xi) = \frac{2\xi - i}{\xi - i}$.
Поэтому если Вам не дорог всякий мелкий дребезг на АЧХ и Вы можете поступить так же. Приближаете свою АЧХ дробно-рациональным выражением от $\xi^2$. Потом раскладываете на множители. Корни там должны быть комплексно-сопряженными. Выделяете $\Phi^+$ и в результате получаете
$\hat f (\xi) = (\Phi^+(\xi))^2$
После этого обратное преобразование Фурье и дает Вам искомый сигнал. Достоинство такого подхода - ЯВНОЕ выражение для сигнала, поскольку в конечном итоге все проинтегрируется в явном виде.
В противном случае надо действительно применять БПФ и численное интегрирование. Конечно, там будут какие-то погрешности, и, так вот сходу, я не могу сказать какой от них будет эффект. Надо экспериментировать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group