2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение15.10.2014, 06:06 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Цитата:
Но самое печальное - в том, что вы сначала бахвалились

Это верно. Но я реально считал, что знаю математику весьма хорошо.

Цитата:
а потом, в конце концов, взяли производную, но не сами руками

Производную-то я как раз взял сам, а график уже попросил у Вольфрама.

Цитата:
Интересно, не изменилось ли вот это ваше мнение?

Мнение моё действительно изменилось. Я, так сказать, на примере убедился, что без математики далеко не уедешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение15.10.2014, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Atom001 в сообщении #919098 писал(а):
Производную-то я как раз взял сам

Тогда приношу извинения.

Но тогда зачем вы в производной привели дроби к общему знаменателю? Эту функцию удобнее воспринимать как две отдельные дроби, и производные и первообразные искать в таком виде проще.

Atom001 в сообщении #919098 писал(а):
Это верно. Но я реально считал, что знаю математику весьма хорошо.

Ну, в общем, моя цель была не показать, что математику вы знаете плохо. Я думаю, всё-таки хорошо (по крайней мере, сравнительно, для вашего возраста и класса). Но я хотел показать, что математика с физикой "дружит" очень плотно, и математика не является скучным, бесполезным и бессмысленным довеском к физике, а наоборот, помогает физике со всем разобраться - и с тем, как явления происходят, и с тем, к каким последствиям приводят какие причины, и т. п.

У меня в подписи (до того, как подписи убрали) стояло:
    Математика поставляет в физику всё понимание.
Может быть, в школьной физике это ещё и не очень видно, но чем глубже вы физикой занимаетесь, тем повсеместней и банальней становится этот факт.

Не удержусь от ещё одного примера, даже более показательного и важного, чем предыдущий.

Рассмотрим грузик на пружинке. Пружинка закреплена одним концом за неподвижную опору, так что имеет длину $l$ (в нерастянутом состоянии $l_0$), грузик имеет массу $m,$ всеми другими силами пренебрегаем (от силы тяжести мы можем избавиться, расположив систему горизонтально, а от силы трения - смазкой, роликами, или какими-то ещё способами - лучше всего магнитный подвес в вакууме). Тогда (обозначив $l-l_0=x$) мы имеем по 2 закону Ньютона
$$ma=F_\text{Гука}=-kx,$$ и хорошо известные кинематические определения $a=\dfrac{dv}{dt},\quad v=\dfrac{dx}{dt}.$ Слепляя всё вместе, мы имеем дифференциальное уравнение
$$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-kx.$$ Кроме того, мы можем сказать, что знаем начальное состояние физической системы: в момент времени $t=t_0$ мы знаем скорость $v=v_0$ и положение грузика $x=x_0.$

Теперь физика идёт на поклон к математике и говорит: "смотри, у меня есть дифференциальное уравнение с начальными условиями". Математика отвечает: "дифференциальное уравнение? Сейчас решим!" Для математики, отвлекаясь от физических символов, это дифференциальное уравнение - обыкновенное линейного однородного типа,
$$\dfrac{d^2x}{dt^2}+Kx=0,\qquad x(0)=x_0,\quad \dfrac{dx}{dt}(0)=v_0.$$ Общая теория линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений гласит, что решение является суммой слагаемых, каждое из которых образовано степенью и экспонентой:
$$x(t)=\sum_i A_i t^{a_i}e^{b_i t}.$$ Задача состоит только в том, чтобы подобрать эти неизвестные числа $a_i,b_i,\quad i=1,2,\ldots,$ для данного конкретного уравнения. Поскольку уравнение мы имеем второго порядка, то слагаемых нам будет необходимо и достаточно две штуки:
$$x(t)=A_1 t^{a_1}e^{b_1 t}+A_2 t^{a_2}e^{b_2 t}.$$ Берём нужное количество производных:
$$\begin{gathered}\dfrac{dx}{dt}(t)=A_1 a_1 t^{a_1-1}e^{b_1 t}+A_1 b_1 t^{a_1}e^{b_1 t}+A_2 a_2 t^{a_2-1}e^{b_2 t}+A_2 b_2 t^{a_2}e^{b_2 t},\\\dfrac{d^2x}{dt^2}(t)=A_1 a_1(a_1-1)t^{a_1-2}e^{b_1 t}+A_1 a_1 b_1 t^{a_1-1}e^{b_1 t}+A_1 b_1 a_1 t^{a_1-1}e^{b_1 t}+A_1 b_1^2 t^{a_1}e^{b_1 t}+{}\\{}+\text{аналогично для \(A_2,a_2,b_2\)},\end{gathered}$$ и подставляем их в исходное уравнение $\dfrac{d^2x}{dt^2}+Kx=0.$ Приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах и степенях (потому что наше уравнение должно удовлетворяться для функций от $t,$ а не просто для какого-то одного значения $t$), получаем систему уравнений:
$$\begin{cases}a_1(a_1-1)=0;&a_2(a_2-1)=0\\2a_1 b_1=0;&2a_2 b_2=0\\b_1^2+K=0;&b_2^2+K=0\\\end{cases}$$ (извините, я не помню, как избавляться от других вариантов), откуда $a_{1,2}=0\quad b_{1,2}=\pm i\sqrt{K}.$ Получается, решение имеет общий вид:
$$x(t)=A_1 e^{it\sqrt{K}}+A_2 e^{-it\sqrt{K}}.$$ Поскольку нам нужно действительное решение, то мы объединяем $e^{it\sqrt{K}}+e^{-it\sqrt{K}}=2\cos(t\sqrt{K}),$ и соответственно, $-ie^{it\sqrt{K}}+ie^{-it\sqrt{K}}=2\sin(t\sqrt{K}),$ и переобозначая константы (которые пока всё равно никакого значения не имеют) $C_1=A_1+A_2,\quad C_2=i(A_1-A_2),$ получаем решение в действительном виде (и все константы действительные):
$$x(t)=C_1\cos(t\sqrt{K})+C_2\sin(t\sqrt{K}),$$ или, преобразуя ещё дальше,
$$x(t)=\sqrt{C_1^2+C_2^2}\,\cos\Bigl(t\sqrt{K}-\arctg\dfrac{C_2}{C_1}\Bigr)=A\cos(t\sqrt{K}-\varphi_0).$$ Полюбуйтесь, какой результат! Мы мучили-мучили уравнение, и получили, что его решение - синусоида, причём частота этой синусоиды фиксирована (это $\sqrt{K},$ однозначно заданный константой в исходном уравнении), зато амплитуду и сдвиг по фазе можно выбирать как угодно.

Но теперь мы вспоминаем, что кроме самого уравнения, у нас к нему прилагаются начальные условия. Подставляя в них полученное нами решение, мы получаем систему уравнений, позволяющую зафиксировать и константы, которые до этого были свободными:
$$\begin{cases}A\cos(t_0\sqrt{K}-\varphi_0)=x_0\\-A\sqrt{K}\sin(t_0\sqrt{K}-\varphi_0)=v_0.\\\end{cases}$$ Решая эту систему, мы получаем наконец:
$$A=\sqrt{x_0^2+v_0^2/K},\qquad\varphi_0=t_0\sqrt{K}-\arctg\dfrac{-v_0}{x_0\sqrt{K}}$$ и решение имеет вид:
$$x(t)=\sqrt{x_0^2+v_0^2/K}\,\cos\Bigl((t-t_0)\sqrt{K}-\arctg\dfrac{v_0}{x_0\sqrt{K}}\Bigr).$$
Теперь математика возвращает этот результат физике. И физика страшно рада: у неё была просто какая-то непонятная физическая система: грузик и пружинка. А теперь оказывается, что эта система ведёт себя совершенно предсказуемо и однозначно: она совершает колебания с частотой $\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ (уже это - важный результат!), колебания - синусоидальные, вокруг положения равновесия, и зная начальные положение и скорость грузика, можно точно сказать, какие колебания последуют. Дальше можно уже чертить графики, что будет, представлять себе конкретные ситуации (а что если грузик имеет начальное отклонение, но нулевую скорость - мы его оттянули и отпустили? а что если грузик не имеет начального отклонения, но имеет начальную скорость - мы его щёлкнули?). Можно обдумывать и другие задачи: а что если мы знаем скорость в один момент времени, а положение - в другой момент времени? Или если мы не знаем скорости вообще, но знаем положения в два разных момента времени?

Всё это появляется благодаря тому, что мы сходили в математические дебри, и вернулись обратно.

Кстати, пример - практически типичный для всей физики. Вся физика опирается на разные дифференциальные уравнения. Сама физика не знает, что делать с этими уравнениями, и только математика может их решить. Когда математика выдаёт решение, физика говорит спасибо, и дальше это решение уже как-то использует. Иногда - чтобы составить новое дифференциальное уравнение, и снова понести его к математике. Уравнения иногда бывают других типов - интегральные, операторные - но дифференциальные уравнения встречаются больше всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение15.10.2014, 14:05 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Цитата:
Но тогда зачем вы в производной привели дроби к общему знаменателю? Эту функцию удобнее воспринимать как две отдельные дроби, и производные и первообразные искать в таком виде проще.

Я тоже думал, что изучать функцию удобнее через две дроби, но потом решил, что одной дробью красивее, так и написал.
Цитата:
Но я хотел показать, что математика с физикой "дружит" очень плотно

Должен сказать, что Вы достигли цели!
Цитата:
У меня в подписи (до того, как подписи убрали) стояло:
Математика поставляет в физику всё понимание.

Так вот, где я эти слова видел. :) В своём предыдущем сообщении хотел привести эти слова и подписаться под ними, но я не знал автора, а без автора как-то не хорошо.
Цитата:
Не удержусь от ещё одного примера

Благодарю за щедрость!

P.S. Из нашего диалога я понял, что с математика у меня не лады. Поэтому, учитывая сказанное Вами ("Надо его "прокачивать") о понимании математики, прошу направить на путь истинный, порекомендовав соответствующую литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение15.10.2014, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Чёрт! (А так хорошо всё начиналось...)

Вот хороших книг я посоветовать на эту тему не могу. И вашего уровня, и хорошо читающихся... Попробуйте спросить на математическом разделе форума. Я больше разбираюсь в физических книгах, и по ним могу подобрать рекомендации.

В голову приходят только такие идеи:
- стандартные курсы "матана" и "линала" для первых курсов (нематематических специальностей! но и не совсем уж топорных - где-нибудь уровень для физических специальностей подойдёт). Тут я не знаю конкретных рекомендаций, сам ищу, но навскидку, например, есть учебники Ильин-Позняк.
- математические главы в замечательном многотомнике
    "Фейнмановские лекции по физике"
(кстати, я думаю, вам его и вообще почитать будет интересно). Там постепенно рассказывается и про дифференциальные уравнения, и про векторы, и про комплексные числа.
- есть довольно любопытная книжка
    Зельдович, Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников.
Название довольно смешное, напоминает "Повесть-сказка для научных работников младшего возраста" (кстати, а вы энаете, откуда это?), но книжка, кажется, неплохая. Правда, я её не читал.

Очень многое во владении математикой зависит от решения задач, от умения их решать, которое приходит с опытом. Тут нужны задачники, соответствующие выбранным учебникам. Но увы, тут я вообще ничего не могу назвать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение16.10.2014, 09:06 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Цитата:
В голову приходят только такие идеи:

И за это спасибо! Начинать в любом случае с чего-нибудь надо. Сейчас посмотрю эти книги, а дальше видно будет.

Цитата:
"Фейнмановские лекции по физике"

Давно хотел спросить, ФЛФ можно читать с любого тома или каждый следующий опирается на предыдущий (как, например, тот же Мякишев)?

Цитата:
кстати, а вы энаете, откуда это?

Понедельник начинается в субботу :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение16.10.2014, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Atom001 в сообщении #919440 писал(а):
Давно хотел спросить, ФЛФ можно читать с любого тома или каждый следующий опирается на предыдущий (как, например, тот же Мякишев)?

Если и опирается, то больше в идеологическом плане.

Есть важные "связки" томов: 5-6 - "Электродинамика", 8-9 - "Квантовая механика". Их разрывать не стоит.

Кроме этого, можно читать в любом порядке и с любого тома (я, например, так насквозь и не прочитал). Иногда там в одном томе вводится мат.аппарат, а в другом - используется. Для "релятивистских" глав в тт. 3, 6 надо предварительно прочитать СТО по тому 2. Перед "квантовыми" томами - две главы из тома 3.

Но я вообще-то ФЛФ рекомендовал прежде всего для математики. Это, навскидку, такая программа:
Т. 1 - главы 6, 8-9, 11, 13-14; т. 2 - главы 20, 21-25; т. 3 - главы 26, 29; т. 4 - главы 47-50;
Т. 5 - главы 2-3; т. 6 - главы 18, 20-21.

Этого, пожалуй, хватит, чтобы понимать школьную физику, причём очень хорошо. Но опционально назову ещё такие продвинутые темы:
Т. 2 - главы 15, 17 (будьте осторожны, не читайте про СТО всякого "опровергательного" мусора в интернете);
Т. 4 - глава 52;
Т. 7 - глава 31;
Т. 8 - главы 3, 6.

-- 16.10.2014 19:11:42 --

Atom001 в сообщении #919440 писал(а):
Понедельник начинается в субботу :)

Приятно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение17.10.2014, 08:23 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Цитата:
Но я вообще-то ФЛФ рекомендовал прежде всего для математики. Это, навскидку, такая программа:
Т. 1 - главы 6, 8-9, 11, 13-14; т. 2 - главы 20, 21-25; т. 3 - главы 26, 29; т. 4 - главы 47-50;
Т. 5 - главы 2-3; т. 6 - главы 18, 20-21.

Этого, пожалуй, хватит, чтобы понимать школьную физику, причём очень хорошо. Но опционально назову ещё такие продвинутые темы:
Т. 2 - главы 15, 17 (будьте осторожны, не читайте про СТО всякого "опровергательного" мусора в интернете);
Т. 4 - глава 52;
Т. 7 - глава 31;
Т. 8 - главы 3, 6.

Спасибо!
Пойду работать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение17.10.2014, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Надеюсь, вам понравится! Фейнман замечательный!

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение26.10.2014, 21:33 


01/05/14
18
Всем привет! В общем, я уже писал, что хотел бы пойти после универа на аспирантуру по теор физике, хотя сам учусь на математика. И хочу составить список учебников по физике, которые шли бы от самого фундамента до последних (ну, не самых) достижений в ТФ (ну хотя бы по теории струн, и прочим подобным вещам). Может ли кто-нибудь такой список предложить?
(ЛЛ книжки уже пришли ко мне - 1 том и 3. Надо бы еще найти том 2 и 4. Но ведь они уже староваты... Я так понял, что это будет неплохим введением в ТФ. Фейнмановские лекции, как я понял, тоже стоит взять в список)

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение26.10.2014, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ЛЛ - это для аспирантуры недостаточно.
Почитайте вот это вот:
How to become a GOOD Theoretical Physicist, by Gerard 't Hooft
http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/theorist.html
http://www.staff.science.uu.nl/~Gadda00 ... index.html

faq - Book recommendations - Physics Stack Exchange
http://physics.stackexchange.com/questi ... mendations

Где-то я ещё аналогичные списки встречал, но что-то нашлось только от 'т Хоофта.

-- 26.10.2014 22:41:49 --

vismut
Напоминать надо, что вы ещё первокурсник. Вам пока задумываться о полном списке рано, может быть. Вот сумеете справиться с первыми этажами пирамиды - можно будет вообще думать о том, чтобы идти в аспирантуру по физике. (Кстати, а вы точно учитесь на математика? вы что-то произносили про "компьютерную безопасность"...) Не сбрасывайте ещё со счётов, что за 5 лет ваши увлечения и пристрастия могут поменяться, и не раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение26.10.2014, 23:49 


01/05/14
18
Munin, на КБ. (Но из нас обещали сделать математиков-программистов. Люди вполне успешно сейчас проходят аспирантуру по математике после учебы по этой специальности у нас (другое дело, что мало кто желает после КБ идти в математику, лучше куда-нить программистом устроиться, или же безопасником компьютерным). Ну и в дипломе пишут "математик")
Вероятно, это я загнул про математика... Но, думаю, все что нужно, при желании, можно осилить и самому...
Вроде бы решение окончательное, это все итак долго переваривалось - как раз лет 6. Вначале я планировал стать астрономом, потом математиком, потом физиком... А затем я все это соединил :D ( и пошел на компьютерную безопасность :facepalm:)
Нет, все же, теор физику я выбираю. И если уж это не запланировано моим курсом, тогда я буду сам это осваивать.
Спасибо за ссылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение27.10.2014, 00:59 


22/10/14
23

(Оффтоп)

vismut, ты в МИФИ, что-ли? А то кого-то мне это напоминает :mrgreen:

P.S. Астроном, математик, физик <- напоминает мой путь выбора направления, и тоже на кибер безопасность попер :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение27.10.2014, 01:10 


01/05/14
18

(Оффтоп)

Nu11ers3t, думаю, мы не знакомы. ЧелГУ.
Похоже, что многие КБ-шники идут по этому пути...

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение27.10.2014, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vismut в сообщении #923354 писал(а):
Но из нас обещали сделать математиков-программистов.

Хто их ещё знает, в каком смысле они понимают "математиков", произнося такие слова...

По поводу теорфизики - см. тж. post891578.html#p891578 и последующий диалог, особенно реплики Alex-Yu.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте книги объясняющие физику
Сообщение27.10.2014, 02:49 


01/05/14
18
Munin, что ж вы меня еще и отговариваете... Работы же не в проворот. Это мне, выходит, надо было еще в 1 классе начинать ЛЛ почитывать... я б тогда уже и все 10 томов перечитал, и выкладки все сделал...
Хоть повезло, что не поздно спохватился, на 1 курсе еще...
P.S. Я так же работаю - ночью занимаюсь сам (Ток в основном ночью занимаюсь осиливанием программинга, делать небольшие проектики. А, значит, пора сворачивать мне уже на ЛЛ.), но вот на парах я не сплю... просто сижу в бессознательном состоянии, и стараюсь записывать то, что услышу... Хотя не знаю, зачем... Конспекты за 1-3 курсы (когда идет одна математика) я у старшекурсников взял... Можно его и осваивать ночью и физику.
Огромное вам спасибо, приступлю к делу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group