2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Периодическое во времени решение краевой задачи
Сообщение30.09.2014, 13:56 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Пусть $Q=(0,L)\times (0,T)$. В области $Q$ рассматриваем задачу

$Lu  \equiv G u_t(x,t) -(F(u_x))_x = 0$
$u(0,t) =0, \, t \in (0,T)$
$u(L,t) =\varphi(t), \, t \in (0,T)$
$u(x,0) =u(x,T), \, x \in (0,L)$

$G \neq 0$ - константа. Относительно $F(z)$ будем предполагать дифференцируемость и монотонность: $0 < a < F'(z) < b$. Предположим, что $\varphi(t)$ гладкая и периодическая с периодом $T$. Тогда у задачи существует и единственно регулярное решение из класса $u_t, u_{xx} \in L_2(Q)$.
Ниже, не оговаривая особо, мы будем пользоваться неравенством $|F(z)| < C(1 + |z|)$, которое вытекает из требований на $F$. Отметим, что эти условия можно и ослабить.
Кроме того, ниже, чтобы не загромождать выкладки, считаем, что $G = 1$.

Доказательство. Обозначим $w(x,t) = \frac{x\varphi(t)}{L}$. (На самом деле, здесь можно взять любую гладкую функцию, периодическую по $t$ и принимающую нужные краевые условия). И ищем решение в виде $u=w + \bar u$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде
$\bar u_t - (F(w_x + \bar u_x))_x + w_t = 0$
При этом $\bar u(0,t) = \bar u(L,t) = 0$. Для решения этого уравнения, применяем стационарный метод Галеркина.

Пусть $Y_n(x)$ - базис в $W^1_2(0,L)$, $Y_n(0) = Y_n(L) = 0$.
Для всяких $n,k$ обозначим $E_{nk} \subset L_2(Q)$ - подпространство, натянутое на вектора $Y_i(x),Y_i(x)\sin (2j\pi t /T),Y_i(x)\cos (2j\pi t /T)$. Далее, обозначим $L_2$-проектор на это пространство - $P_{nk}$. Отметим, что пространство $E_{nk}$ содержит периодические по $t$ функции, обращающиеся в 0 на краях $x=0$ и $x=L$. Кроме того, оператор дифференцирования по $t$ действует из $E_{nk}$ в $E_{nk}$.
В пространстве $E_{nk}$ рассмотрим уравнение (приближение по Галеркину)
$L_{nk}v \equiv v_t - P_{nk}(F(w_x + v_x))_x  + P_{nk}w_t = 0$
Докажем, что для некоторого $R$ справедливо неравенство $(L_{nk}v,v) > 0$, если только $\|v_x\|_2 = R$. Тогда по лемме Вишика в шаре $\|v_x\|_2 \leqslant R$ найдется решение уравнения $L_{nk}v = 0$. Очевидные преобразования дают

$(L_{nk}v,v) = \int \limits_Q (F(w_x + v_x)v_x + w_tv)dxdt \geqslant a\|w_x + v_x\|_2^2 - C \|v_x\|_2$
Отсюда $(L_{nk}v,v) >0$, если только норма $\|v_x\|_2$ достаточно велика (равномерно по $n,k$).
Таким образом, решение $v$ существует и равномерно ограничено по $n,k$. Отсюда, скорее всего, уже можно вытащить существование обобщенного решения. Но мы еще упростим нашу задачу. Для этого рассмотрим $(L_{nk}v,v_t)$. Как уже отмечалось, $E_{nk}$ инвариантно относительно оператора дифференцирования по $t$. Посему это эквивалентно действию "умножим уравнение на $v_t$ и проинтегрируем по частям". Получим
$\int \limits_Q (v_t^2 +w_tv_t + F(w_x+v_x)v_{xt})dxdt = 0$
Отсюда, с учетом оценки на $v_x$, получаем равномерную оценку

$\int \limits_Q v_t^2dxdt \leqslant C$
Обозначим найденное решение, как $v_{nk}$.
Теперь уже можно переходить к пределу. Главная проблема - нелинейность по $v_x$. Применяем метод монотонности. Дело упрощается тем, что у нас есть оценка на $v_t$, поэтому не нужна возня со следами, при интегрировании по частям.
Итак, стандартные заклинания. Из последовательности решений $v_{nk}$ выбираем подпоследовательность, такую, что $(v_{nk})_t$ и $(v_{nk})_x$ и $F((w + v_{nk})_x)$ слабо сходятся в $L_2(Q)$. Тогда сами $v_{nk}$ будут сходиться сильно в $L_2(Q)$. Речь идет о некой подпоследовательности, но этого не надо бояться (с этим мы разберемся позже).
$(v_{nk})_t \rightharpoonup \bar u_t$
$(v_{nk})_x \rightharpoonup \bar u_x$
$F((w + v_{nk})_x) \rightharpoonup \chi $
Стандартные рассуждения из метода монотонности дают
$\chi = F(w_x + \bar u_x)$
а значит, $u = w + \bar u$ - решение задачи. Поскольку $u_t \in L_2(Q)$, из уравнения получаем и $u_{xx} \in L_2(Q)$.
Но это сходимость какой-то подпоследовательности. А как же вся последовательность? Докажем, что и вся последовательность сходится к этому пределу. Рассуждение стандартное и опирается на теорему единственности. Как я уже показывал раньше, имеет место теорема единственности. Она нам сейчас пригодится. Итак, пусть последовательность НЕ сходится к решению. Тогда найдется некая подпоследовательность, такая , что $v_{nk} \not  \to\bar u$ в $L_2(Q)$. Но применяя к ней те же самые рассуждения, получим, что из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. И сходится эта подпоследовательность к решению задачи. А оно единственно. Противоречие.

Тем самым, мы доказали, что решение существует и единственно. Последовательность приближений Галеркина сходится к решению. Правда мы лишь показали слабую сходимость производных. На самом деле, легко показать, что $(v_{nk})_x$ сходится к $\bar u_x$ сильно в $L_2(Q)$.
Далее, если надо, требуем гладкость от $\varphi(t)$ и получаем оценки на $v_{xt}$. Отсюда получаем сильную сходимость $v_{nk} \to \bar u$ в $C(\bar Q)$ и, вроде бы, можно получить сильную сходимость в $L_2(Q)$ и для $(v_{nk})_t$. А можно поработать со спец. базисом ( синусы в качестве $Y_k(x)$) Но, лень разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое во времени решение краевой задачи
Сообщение30.09.2014, 17:23 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое во времени решение краевой задачи
Сообщение30.09.2014, 19:08 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Не нужны синусы по $x$ (никому). По пространственным переменным сетка, и в элементах полиномы Лагранжа (или Эрмита, что гораздо реже). Это простейшая задача метода конечных элементов, которым я имею "несчастье" заниматься. И в периодическом случае попытался сделать по времени тригонометрический полином...

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое во времени решение краевой задачи
Сообщение01.10.2014, 06:06 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
IgorS в сообщении #914054 писал(а):
Не нужны синусы по $x$ (никому).

Экий Вы капризный. (Я, конечно, слыхал про такие "проблемы" у вычислителей.) Ну и ладно. А если от этого у Вас сходимость улучшится? Тоже наплевать?
Мое дело маленькое. В случае тех самых "гадких" синусов, можно гарантировать оценку для вторых производных по $x$ на Галеркинских приближениях. А вот для других базисов я этого утверждать не могу, да и, скорее всего, это не так. Если Вы заметите, я и НЕ ПРЕДЛАГАЛ спец. базис по синусам, а показал "приличную" сходимость приближений и без него. Но если Вам понадобится более сильная сходимость - знайте, ее можно получить с базисом из синусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое во времени решение краевой задачи
Сообщение01.10.2014, 10:14 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Все. Спасибо за общение. Восхищен Вашим долготерпением и работоспособностью. Рад был сотрудничеству.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group