2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение16.09.2014, 19:17 


31/03/06
1384
Лемма 4.9
-------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ не равны нулю и взаимно-просты.

Тогда числа $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ не равны нулю, и числа $a_0, a_1$ - взаимно-просты.

Доказательство:
----------------------

Покажем, что числа $a_0$ и $a_1$ - взаимно-просты.
Предположим обратное, что $a_0$ и $a_1$ имеют общий простой делитель $q$.
Из равенств (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3) следует, что числа $a_2, a_4, a_3$ делятся на $q$.
Следовательно, числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ делятся на $q$, что противоречит их взаимной простоте.
Значит, числа $a_0$ и $a_1$ - взаимно-просты.
Что и требовалось.

Поскольку числа $a_0$ и $a_1$ не имеют общих делителей, то они не равны нулю:

(4.9.1) $a_0 \ne 0$ и $a_1 \ne 0$.

Покажем, что $a_3 \ne 0$.
Предположим обратное, что $a_3=0$.
Из равенства (4.2.1) следует, что $a_2 a_4=0$.
Если $a_2=0$ то из равенства (4.1.2) следует, что $a_4=0$, поскольку $a_3=0$.
Если $a_4=0$ то из равенства (4.1.1) следует, что $a_2=0$, поскольку $a_3=0$.
Значит, числа $a_2, a_3, a_4$ равны нулю.
Следовательно, $a_0 a_1=0$, в силу равенства (4.1.3), что противоречит (4.9.1).
Значит, $a_3 \ne 0$.
Что и требовалось.

Покажем, что $a_4 \ne 0$.
Предположим обратное, что $a_4=0$.
Из равенства (4.2.1) следует: $4 a_3^5=a_2^5$, поскольку $a_3 \ne 0$.
Следовательно $4$ является пятой степенью рационального числа, что невозможно.
Значит $a_4 \ne 0$.
Что и требовалось.

Покажем, что $a_2 \ne 0$.
Предположим обратное, что $a_2=0$.
Из равенства (4.2.1) следует: $4 a_3^5=4 a_4^5$, поскольку $a_3 \ne 0$.
Следовательно, $a_3=a_4$.
Следовательно, $a_0=-a_1$, в силу равенства (4.1.1), поскольку $a_3 \ne 0$.
Равенство $a_0=-a_1$ противоречит взаимной простоте чисел $a_0$ и $a_1$.
Значит $a_2 \ne 0$.
Что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение17.09.2014, 13:14 


31/03/06
1384
Лемма 4.10
-------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ не равны нулю, взаимно-просты, второе число - чётное, и одно из них делится на $5$.

Пусть $a_3>0$.

Пусть $d_0$ - наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ ($d_0>0$).
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$ ($d_2>0$).
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$ ($d_4>0$).

Тогда $d_0=2 d_2 d_4$, $a_3=10 d_0 (d_2 d_4)^3$.

Число $a_0$ делится на $d_2^3$, число $a_1$ делится на $8 d_4^3$.

Доказательство:
---------------------

Числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $10$, в силу лемм 4.4 и 4.5.

Пусть $p$ - какой-либо простой делитель числа $a_3$.
Числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $p$, в силу лемм 4.3 и 4.5.
Следовательно, $a_0 a_1$ делится на $p$, в силу равенства (4.1.3).
Следовательно, одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $p$, а другое нет, поскольку эти числа взаимно-просты, в силу леммы 4.9.

Пусть $p^{t}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Пусть

(4.10.1)
$d_{00}$ - произведение степеней $p^{t}$ простых делителей $p$ числа $a_3$, на которые делится $a_0$,
$d_{01}$ - произведение степеней $p^{t}$ простых делителей $p$ числа $a_3$, на которые делится $a_1$.

Тогда

(4.10.2) $d_0=d_{00} d_{01}$.

Число $a_3$ делится на $p^{4 t-2}$, в силу лемм 4.6 и 4.8.
Если $a_0$ делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_2, a_4$ являются соответственно $p^{2 t}, p^{t}$, в силу леммы 4.6.
Если $a_1$ делится на $p$, то наибольшими степенями $p$, на которые делятся числа $a_2, a_4$ являются соответственно $p^{t}, p^{2 t}$ если $p \ne 2$ и $p^{t}, p^{2 t-1}$ если $p=2$, в силу лемм 4.6 и 4.8.

Поскольку наибольшей степенью $p$, на которую делится $d_0$ является $p^t$, то:

(4.10.3)
Число $a'_3$ делится на $p^{3 t-2}$.
Если $a_0$ делится на $p$, то наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a'_2$ является $p^{t}$, а $a'_4$ не делится на $p$.
Если $a_1$ делится на $p$, то наибольшей степенью $p$, на которую делится число $a'_4$ является $p^{t}$ если $p \ne 2$ и $p^{t-1}$ если $p=2$, а $a'_2$ не делится на $p$.

Значит:

(4.10.4)
Число $d_2$ является произведением степеней $p^{t}$ простых делителей $p$ числа $a_3$, на которые делится $a_0$,
Число $d_4$ является произведением степеней $p^t$ простых делителей $p \ne 2$ числа $a_3$, на которые делится $a_1$ и степени $p^{t-1}$ при $p=2$.

Из (4.10.1) и (4.10.4) следует:

(4.10.5) $d_{00}=d_2$, $d_{01}=2 d_4$.

Из (4.10.2) и (4.10.5) следует:

(4.10.6) $d_0=2 d_2 d_4$.

Из (4.10.4) следует:

(4.10.7) Число $d_2 d_4$ является произведением степеней $p^t$ простых делителей $p \ne 2$ числа $a_3$ и степени $p^{t-1}$ при $p=2$.

Число $a_3$ является произведением степеней $p^{4 t}$ простых делителей $p \ne 2, 5$ числа $a_3$, степени $p^{4 t+1}$ при $p=5$ и степени $p^{4 t-2}$ при $p=2$, в силу лемм 4.7 и 4.8.

Следовательно:

(4.10.8) $a_3=5 \cdot 2^2 (d_2 d_4)^4$, в силу (4.10.7).

Из (4.10.6) и (4.10.8) следует:

(4.10.9) $a_3=10 d_0 (d_2 d_4)^3$.


Пусть $p$ - какой-либо простой делитель числа $a_3$.
Пусть $p^{t}$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.

Если $a_0$ делится на $p$, то $a_0$ делится на $p^{3 t}$, в силу леммы 4.6.
Если $a_1$ делится на $p$, то $a_1$ делится на $p^{3 t}$ в силу лемм 4.6 и 4.8.

Из (4.10.4) следует, что $a_0$ делится на $d_2^3$, и $a_1$ делится на $8 d_4^3$.
Что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение17.09.2014, 22:01 


31/03/06
1384
Лемма 4.11
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть числа $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3$ и $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2$ не равны нулю, взаимно-просты, второе число - чётное, и одно из них делится на $5$.

Пусть $a_3>0$.

Пусть $d_0$ - наибольший общий делитель чисел $a_2, a_3, a_4$ ($d_0>0$).
Пусть $a'_2=a_2/d_0, a'_3=a_3/d_0, a'_4=a_4/d_0$.

Пусть $d_2$ - наибольший общий делитель чисел $a'_2$ и $a'_3$ ($d_2>0$).
Пусть $d_4$ - наибольший общий делитель чисел $a'_4$ и $a'_3$ ($d_4>0$).

Пусть $c_0=a_0/d_2^3, c_1=a_1/(8 d_4^3), c_2=a'_2/d_2, c_4=a'_4/d_4$

Тогда выполняются равенства:

(4.11.4)
$d_0=2 d_4 d_2$,
$a_2=d_0 d_2 c_2$,
$a_4=d_0 d_4 c_4$,
$a_3=10 d_0 (d_2 d_4)^3$,
$a_0=d_2^3 c_0$,
$a_1=8 d_4^3 c_1$.

Также выполняются равенства:

(4.11.1) $c_0 c_4+80 c_1 d_4^5+c_2^2=0$,
(4.11.2) $5 c_0 d_2^5+4 c_1 c_2+c_4^2=0$,
(4.11.3) $c_0 c_1+c_2 c_4+50 d_2^5 d_4^5=0$.

Числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты.
Числа $c_0, c_1, c_2, c_4$ - целые, нечётные, не делящиеся на $5$ и попарно взаимно-простые.

Доказательство:
------------------

Равенства (4.11.4) выполняются в силу леммы 4.10 и определения чисел $d_0, d_2, c_2, d_4, c_4, c_0, c_1$.
Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3):

Код:
d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;
a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

2*a0*a4+2*a1*a3+a2^2;
a0*a3+a1*a2+a4^2;
a0*a1+2*a2*a4+a3^2;


Получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).

Числа $c_0$ и $c_1$ - целые, поскольку число $a_0$ делится на $d_2^3$, и число $a_1$ делится на $8 d_4^3$, в силу леммы 4.10.
Числа $c_2$ и $c_4$ - целые по определению чисел $d_2$ и $d_4$.

Покажем, что числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты.
Предположим обратное, что числа $a'_2$ и $a'_4$ не взаимно-просты.
Пусть числа $a'_2$ и $a'_4$ делятся на простое число $p$.
Тогда числа $a_2$ и $a_4$ делятся на $p$.
Если $a_3$ не делится на $p$, то из равенства (4.1.3) следует, что $a_0 a_1$ не делится на $p$, что противоречит равенству (4.1.2), поскольку из него следует, что $a_0 a_3$ делится на $p$.
Значит $a_3$ делится на $p$.
Следовательно, $a_0 a_1$ делится на $p$, в силу равенства (4.1.3).
Следовательно, одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $p$, а другое нет, поскольку эти числа взаимно-просты, в силу леммы 4.9.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда одно из чисел $a_2$ и $a_4$ делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, в силу лемм 4.6 и 4.8.
Следовательно, одно из чисел $a'_2$ и $a'_4$ не делится на $p$.
Это противоречит тому, что $a'_2$ и $a'_4$ делятся на $p$.
Значит:

(4.11.5) числа $a'_2$ и $a'_4$ взаимно-просты.

Что и требовалось.

Числа $c_0$ и $c_1$ - взаимно-просты, поскольку числа $a_0$ и $a_1$ - взаимно-просты, в силу леммы 4.9.
Числа $c_2$ и $c_4$ - взаимно-просты, поскольку числа $a'_2$ и $a'_4$ - взаимно-просты, в силу (4.11.5).

Покажем, что числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты.
Предположим обратное, что числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ делятся на простое число $p$.
Тогда $a_0 a_1$ и $a_2 a_4$ делятся на $p$, следовательно $a_3$ делится на $p$, в силу равенства (4.1.3).
Следовательно, числа $a_2, a_3, a_4$ делятся на $p$, в силу лемм 4.3 и 4.5.
Одно из чисел $a_0, a_1$ делится на $p$, а другое нет, поскольку эти числа взаимно-просты, в силу леммы 4.9, и $a_0 a_1$ делится на $p$.
Пусть $p^t$ - наибольшая степень числа $p$, на которую делятся числа $a_2, a_3, a_4$.
Тогда $d_0$ делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$.
Следовательно $2 d_2 d_4$ делится на $p^t$ и не делится на $p^{t+1}$, поскольку $d_0=2 d_2 d_4$, в силу леммы 4.10.
Число $a_0 a_1$ делится на $p^{3 t}$ и не делится на $p^{3 t+1}$, в силу лемм 4.6 и 4.8.
Следовательно, $c_0 c_1$ не делится на $p$, поскольку $c_0 c_1=(a_0 a_1)/(2 d_2 d_4)^3$.
Это противоречит предположению, что $c_0 c_1$ делится на $p$.
Значит:

(4.11.6) числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты.

Что и требовалось.

Поскольку числа $c_0$ и $c_1$, $c_2$ и $c_4$, $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты, то числа $c_0, c_1, c_2, c_4$ - попарно взаимно-просты.

Числа $c_0, c_1, c_2, c_4$ - нечётные и не делятся на $5$, в силу равенства (4.11.3), поскольку числа $c_0 c_1$ и $c_2 c_4$ - взаимно-просты, в силу (4.11.6).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение18.09.2014, 22:22 


31/03/06
1384
Лемма 5.1
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - ненулевые целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).

Пусть

(5.1.1) $b_1=(a_2^2+4 a_0 a_4)/a_2^2$,
(5.1.2) $b_2=(a_4^2+2 a_1 a_2)/a_4^2$.

Тогда

(5.1.3) $(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (b_1-1) (b_2-1)+16 b_1 b_2+16=0$.

Пусть

(5.1.4) $w_1=(b_2 (b_1-1)^2-(b_1^2-14 b_1+5))/4$,
(5.1.5) $w_2=(b_1 (b_2-1)^2-(b_2^2-14 b_2+5))/4$.

Тогда

(5.1.6) $w_1^2=b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)$,
(5.1.7) $w_2^2=b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)$.

Доказательство:
---------------------

Покажем, что равенство (5.1.3) выполняется.
Подставим значения чисел $b_1$ и $b_2$ из равенств (5.1.1) и (5.1.2) в левую часть равенства (5.1.3):


Код:
b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;

(b1-1)^2*(b2-1)^2+8*(b1-1)*(b2-1)+16*b1*b2+16;


Получим: $32 (2 a_0^2 a_1^2+6 a_0 a_1 a_2 a_4+2 a_0 a_4^3+a_1 a_2^3+a_2^2 a_4^2)/(a_2^2 a_4^2)$.
Это выражение равно нулю, в силу равенства (4.2.4).
Значит, равенство (5.1.3) выполняется.
Что и требовалось.

Пусть

(5.1.8) $v=(b_1-1)^2 (b_2-1)^2+8 (b_1-1) (b_2-1)+16 b_1 b_2+16$.

Тогда $v=0$, в силу (5.1.3).

Покажем, что выполняются следующие равенства:

(5.1.9) $w_1^2-b_1 (-b_1^2+10 b_1-5)-v (b_1-1)^2/16=0$,

(5.1.10) $w_2^2-b_2 (-b_2^2+10 b_2-5)-v (b_2-1)^2/16=0$.

Подставим значения числа $v$ из равенства (5.1.8) и чисел $w_1$ и $w_2$ из равенств (5.1.4) и (5.1.5) в левые части равенств (5.1.9) и (5.1.10):

Код:
v:=(b1-1)^2*(b2-1)^2+8*(b1-1)*(b2-1)+16*b1*b2+16;
w1:=(b2*(b1-1)^2-(b1^2-14*b1+5))/4;
w2:=(b1*(b2-1)^2-(b2^2-14*b2+5))/4;

w1^2-b1*(-b1^2+10*b1-5)-v*(b1-1)^2/16;
w2^2-b2*(-b2^2+10*b2-5)-v*(b2-1)^2/16;


Получим: 0, 0.
Значит, равенства (5.1.9) и (5.1.10) выполняются.
Что и требовалось.

Равенства (5.1.6) и (5.1.7) следуют из равенств (5.1.9) и (5.1.10), поскольку $v=0$, в силу (5.1.3).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение19.09.2014, 08:31 


31/03/06
1384
Лемма 5.2
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_4, c_0, c_1, c_2, c_4, d_0, d_2, d_4$ - ненулевые целые числа, удовлетворяющие равенствам (4.11.4).

Пусть $b_1, b_2$ - рациональные числа, удовлетворяющие равенствам (5.1.1) и (5.1.2).

Тогда

(5.2.1) $b_1=(c_2^2+2 c_0 c_4)/c_2^2$,
(5.2.2) $b_2=(c_4^2+8 c_1 c_2)/c_4^2$.

Доказательство:
---------------------

Подставим значения чисел $d_0, a_0, a_1, a_2, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (5.1.1) и (5.1.2):

Код:
d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

b1:=(a2^2+4*a0*a4)/a2^2;
b2:=(a4^2+2*a1*a2)/a4^2;


Получим равенства (5.2.1) и (5.2.2).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение19.09.2014, 15:44 


31/03/06
1384
Лемма 5.3.
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).
Пусть $c_0, c_1, c_2, c_4, d_0, d_2, d_4$ - целые числа, которые вместе с числами $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ удовлетворяют равенствам (4.11.4).

Тогда

(5.3.1) $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=-d_2 (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)$,

(5.3.2) $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=-4 d_4 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)$.

Доказательство:
--------------------

Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).
Код для этой подстановки находится в доказательстве леммы 4.11.

Из равенств (4.2.2) и (4.2.3) следуют равенства:

(5.3.3) $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=5 a_0^2-4 (5 a_2^2 a_4/(2 a_3))$,

(5.3.4) $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=5 a_1^2-2 (5 a_2 a_4^2/a_3)$.

Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в правые части равенств (5.3.3) и (5.3.4):

Код:
d0:=2*d4*d2;
a2:=d0*d2*c2;
a4:=d0*d4*c4;
a3:=d0*10*(d2*d4)^3;

a0:=d2^3*c0;
a1:=8*d4^3*c1;

5*a0^2-4*(5*a2^2*a4/(2*a3));

5*a1^2-2*(5*a2*a4^2/a3);


Получим: $d_2 (5 c_0^2 d_2^5-4 c_2^2 c_4)$ и $4 d_4(80 c_1^2 d_4^5-c_2 c_4^2)$.
Значит:

(5.3.5) $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=d_2 (5 c_0^2 d_2^5-4 c_2^2 c_4)$,

(5.3.6) $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=4 d_4(80 c_1^2 d_4^5-c_2 c_4^2)$.

Из равенств (5.3.5) и (4.11.2) следует: $a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3=d_2 (c_0 (-c_4^2-4 c_1 c_2)-4 c_2^2 c_4)$, следовательно равенство (5.3.1) выполняется.

Из равенств (5.3.6) и (4.11.1) следует: $2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2=4 d_4 (c_1 (-c_2^2-c_0 c_4)-c_2 c_4^2)$, следовательно равенство (5.3.2) выполняется.

Что и требовалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение19.09.2014, 17:16 


31/03/06
1384
Я вынужден исправить опечатку в доказательстве леммы 4.11 и леммы 5.3.

Цитата:
Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3):


Цитата:
Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.1) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).


исправляется на:

Цитата:
Подставим значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3):


Цитата:
Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение19.09.2014, 23:55 


31/03/06
1384
Лемма 5.4.
--------------

Пусть $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ - ненулевые целые числа удовлетворяющие равенствам (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3).
Пусть $c_0, c_1, c_2, c_4, d_0, d_2, d_4$ - ненулевые целые числа, которые вместе с числами $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ удовлетворяют равенствам (4.11.4).

Пусть $b_1, b_2$ - рациональные числа, удовлетворяющие равенствам (5.2.1) и (5.2.2).
Тогда

(5.4.1) $2000 \cdot 4^{15} (a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=c_2^{24} c_4^{24}  ((b_1-1) (b_2+1)+16)^5 ((b_2-1) (b_1+1)+16)^{10}(b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)$

Доказательство:
---------------------

Подставляя значения чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ из равенств (4.11.4) в равенства (4.1.1), (4.1.2) и (4.1.3), получим равенства (4.11.1), (4.11.2), (4.11.3).
Код для этой подстановки находится в доказательстве леммы 4.11.

Из равенств (5.3.1) и (5.3.2) леммы 5.3 следует:

(5.4.2) $(a_0^2+4 a_1 a_4+4 a_2 a_3)^5 (2 a_0 a_2+4 a_3 a_4+a_1^2)^{10}=-4^{10} d_2^5 d_4^{10} (c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4)^5 (c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2)^{10}$

Покажем, что выполняются следующие равенства:

(5.4.3) $c_0 c_4^2+4 c_0 c_1 c_2+4 c_2^2 c_4=1/4 c_2^2 c_4 ((b_1-1)(b_2+1)+16)$,
(5.4.4) $c_1 c_2^2+c_0 c_1 c_4+c_2 c_4^2=1/16 c_2 c_4^2 ((b_2-1)(b_1+1)+16)$

Подставим значения $b_1$ и $b_2$ из равенств (5.2.1) и (5.2.2) в правые части равенств (5.4.3) и (5.4.4):

Код:
b1:=(c2^2+2*c0*c4)/c2^2;
b2:=(c4^2+8*c1*c2)/c4^2;
(1/4)*c2^2*c4*((b1-1)*(b2+1)+16);
(1/16)*c2*c4^2*((b2-1)*(b1+1)+16);


Получим левые части равенств (5.4.3) и (5.4.4).
Значит, равенства (5.4.3) и (5.4.4) выполняются.
Что и требовалось.

Из равенств (4.11.1) и (4.11.2) следует:

$d_2^5 d_4^{10}=((-c_4^2-4 c_1 c_2)/(5 c_0)) ((-c_2^2-c_0 c_4)/(80 c_1))^2=-1/(5 \cdot 80^2) (1/(c_0 c_1^2)) (c_4^2+4 c_1 c_2) (c_2^2+c_0 c_4)^2$.

Следовательно,

(5.4.5) $d_2^5 d_4^{10}=-1/(40 \cdot 80^2) (1/(c_0 c_1^2)) c_4^2 c_2^4 (b_2+1) (b_1+1)^2$,

поскольку из равенств (5.2.1) и (5.2.2) следует: $c_4^2+4 c_1 c_2=c_4^2 (b_2+1)/2$ и $c_2^2+c_0 c_4=c_2^2 (b_1+1)/2$.

Из равенств (5.2.1) и (5.2.2) следует: $(b_1-1) (b_2-1)^2 c_4^3/128=(2 c_0 c_4)/c_2^2 (8 c_1 c_2)^2/c_4^4 c_4^3/128=c_0 c_1^2$.

Следовательно:

(5.4.6) $c_0 c_1^2=(b_1-1) (b_2-1)^2 c_4^3/128$.

Из равенств (5.4.5) и (5.4.6) следует: $d_2^5 d_4^{10}=-128/(40 \cdot 80^2) (c_2^4/c_4) (b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Значит:

(5.4.7) $d_2^5 d_4^{10}=-1/2000 (c_2^4/c_4) (b_2+1) (b_1+1)^2/((b_1-1) (b_2-1)^2)$.

Из равенств (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) и (5.4.7) следует равенство (5.4.1).

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 5
Сообщение29.09.2014, 15:33 


31/03/06
1384
Оказалось, что это доказательство не просто закончить, и я не буду пытаться сделать это.
Даже если бы это удалось, доказательство нельзя обобщить на высшие степени, а для пятой степени есть гораздо более простые доказательства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group