2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение13.09.2014, 04:34 


18/05/12
73
Прошу помощи, свежего взгляда. Задача, вроде, простая, а придумать функцию не получается.

Кратко: подобрать любую непрерывную $f(x,y)$, определённую на единичном квадрате, которая на границах принимает известные значения $$f(0,y) = a(y), \qquad f(1,y) = b(y), \qquad f(x,0) = c(x), \qquad f(x,1) = d(x).$$

На всякий случай опишу исходную задачу, котору я свёл к предыдущей; вдруг тут есть способ по-проще. Имеется достаточно гладкая функция $\varphi: [0,1]\times[0,1] \to \mathbb{S}^1$ — зависимость фазы имеющегося собственного состояния от точки зоны Бриллюэна, нужно из неё неким гладким образом (собственное состояние определено с точностью до фазы) получить периодическую функцию, чтобы можно было представить в виде $\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$, то есть сделать фазу переодичной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение13.09.2014, 06:14 


18/05/12
73
Кажется, я подобрал:
$$f(x,y) = (1-x) a(y) + x b(y) + (1-y) c(x) + y d(x) - (1-x)(1-y) A - (1-x) y B - x(1-y) C - x y D,$$
где $A = a(0) = c(0)$, $B = a(1) = d(0)$, $C = b(0) = c(1)$ и $D = b(1) = d(1)$.

А моя задача сводится к этой так: на границе квадрата $\varphi$ принимает некоторые значения, выписывается функция $f(x,y)$, непрерывная на этом квадрате с теми же граничными условиями, затем вычитаются и разность $\varphi-f$ на границе зануляется, а значит функция становится переодичной и можно область определения преобразовывать в тор.

-- 13.09.2014, 06:24 --

Беда: здесь возможен разрыв производных во время перехода к тору. Чтобы разрыва не было, нужно занулить производные на границе. То есть $f$ должна удовлетворять условию $f'_\mu = - \varphi'_\mu$, $\mu=x,y$.
Так что вопрос актуальный: подобрать гладкую функцию $f(x,y)$, которая удовлетворяет 4 уравнениям с $a,b,c,d$ и ещё $$f'_x(0,y) = \alpha(y), \qquad f'_x(1,y) = \beta(y), \qquad f'_y(x,0) = \gamma(x), \qquad f'_y(x,1) = \delta(x).$$

Помню, в курсе матанализа мы строили функцию, которая бесконечно гладко переходит в нуль. Поэтому уверен, что у этой задачи (с производными) есть решение. А как строить, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение14.09.2014, 12:24 


18/05/12
73
Простите, я подниму тему, очень надо.
На всякий случай сформулирую задачу более чётко.

Построить любую гладкую функцию $f(x,y)$, которая удовлетворяет граничным условиям
\begin{array}{cccc}
f(0,y) = a(y) & f(1,y) = b(y) & f(x,0) = c(x) & f(x,1) = d(x) \\
f_x(0,y) = \alpha(y) & f_x(1,y) = \beta(y) & f_y(0,x) = \gamma(x) & f_y(1,x) = \delta(x)
\end{array}

Гарантированно выполняются ограничения согласованности
\begin{array}{cccc}
a(0) = c(0) & a(1) = d(0) & b(0) = c(1) & b(1) = d(1) \\
\alpha(0) = c'(0) & \alpha(1) = d'(0) & \beta(0) = c'(1) & \beta(1) = d'(1) \\
\gamma(0) = a'(0) & \gamma(1) = b'(0) & \delta(0) = a'(1) & \delta(1) = b'(1)
\end{array}

Функции $a,b,c,d,\alpha,\beta,\gamma,\delta$ известны.

Достаточно любой, самой простой в построении, гладкой функции с такими условиями.
Вообще не приложу ума, куда копать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение14.09.2014, 13:42 


13/08/14
349
quantum newbie в сообщении #907591 писал(а):
Построить любую гладкую функцию $f(x,y)$, которая удовлетворяет граничным условиям

Центр квадрата - точка $(1/2,1/2)$. Через центр и точку $(x,y)$ проведем отрезок до пересечения с границей квадрата в точке $\gamma$, которая зависит от $(x,y)$. $d$ - расстояние от центра до точки $\gamma$, $r$ - расстояние от центра до точки $(x,y)$. Положим $g(x,y)=\frac rd f(\gamma)$. Мы получили непрерывную функцию на квадрате с нужными значениями на границе. Аналитические преобразования, т. е. приведение к зависимости от $x$ и $y$ просты. Однако эта функция не будет гладкой в центре. Чтобы ее там сгладить необходимо домножить на $(1-\sin {\pi x)}(1-\sin {\pi y)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение14.09.2014, 15:15 


18/05/12
73
Спасибо, интересный подход. Первую задачу (с граничными значениями) для квадрата я решил с помощью билинейного «перехода», формула выше. Ваш подход более универсален.
Скажите, как учесть ещё производные на границе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение14.09.2014, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
quantum newbie в сообщении #907657 писал(а):
Первую задачу (с граничными значениями) для квадрата я решил с помощью билинейного «перехода», формула выше.

Теперь замените в нём просто линейную функцию на отрезок синусоиды (от минимума до максимума).

Вообще, учесть $n$ высших производных можно при помощи ряда Фурье до, соответственно, $n$-й гармоники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение15.09.2014, 14:23 


13/08/14
349
quantum newbie в сообщении #907591 писал(а):
Построить любую гладкую функцию $f(x,y)$, которая удовлетворяет граничным условиям

Определим функцию на $(0,1)$
$\lambda(t)=\exp(\frac1t)\exp(\frac1{t-0,5})$ при $0< t< 0,5$
$\lambda(t)=0$ при $0,5\le t < 1$
Тогда функция
$f(x,y)=\frac{\lambda (x)[a(y)+x\alpha (y)]+\lambda (1-x)[b(y)+(x-1)\beta (y)]+\lambda (y)[c(x)+y\gamma (x)]+\lambda (1-x)[d(x)+(x-1)\delta (x)]}{\lambda (x)+\lambda (1-x)+\lambda (y)+\lambda (1-x)}$
является продолжением на внутренние точки квадрата, если я где-нибудь не ошибся.
Если все правильно, то можно строить и с ограничениями на следующие производные. Способ виден из формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение15.09.2014, 23:37 


18/05/12
73
Evgenjy, проверю, удовлетворяет ли эта функция условиям. Построение интересное.

Мне тут подсказали очень элегантное решение:
Если имеется возможность продолжить $f = F[a,b,c,d]$ непрерывно по граничному условию только на значения, билинейной функцией или в полярном представлении Евгения, можно «опустить» $\bar{f}(x,y) = f(x,y) - F[a,b,c,d]$ до нулевых граничных условий $\bar{a}=\bar{b}=\bar{c}=\bar{d}\equiv 0$ вычитанием и искать функцию в виде $\bar{f}(x,y) = \frac{1}{2\pi}\varphi(x,y) \sin(2\pi x) \sin(2\pi y)$. Поскольку на границе производные выражаются явно (линейно) через $\varphi(x,y)$ и не зависят от производных $\varphi$, то можно решить предыдущую задачу относительно $\varphi(x,y)$ с граничными условиями $$\varphi(0,y) = \bar{\alpha}(y) = \alpha(y) - F[a,b,c,d]'_x(0,y),$$ $$\varphi(1,y) = \bar{\beta}(y) = \beta(y) -  F[a,b,c,d]'_x(1,y)$$и т.п., то есть $\varphi(x,y) = F[\bar{\alpha}, \bar{\beta}, \bar{\gamma}, \bar{\delta}]$. Здесь черта над буквой означает, что речь идёт об «опущенном» случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение16.09.2014, 14:13 


13/08/14
349
Evgenjy в сообщении #907988 писал(а):
если я где-нибудь не ошибся

В трех местах следует заменить $x$ на $y$.
Подправленная формула

$f(x,y)=\frac{\lambda (x)[a(y)+x\alpha (y)]+\lambda (1-x)[b(y)+(x-1)\beta (y)]+\lambda (y)[c(x)+y\gamma (x)]+\lambda (1-y)[d(x)+(y-1)\delta (x)]}{\lambda (x)+\lambda (1-x)+\lambda (y)+\lambda (1-y)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение на квадрате по границе
Сообщение16.09.2014, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Может быть, я глупость написал. Что-то мне начинает казаться, что правильное решение есть решение уравнения Лапласа в квадрате...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group