2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение15.08.2014, 12:43 


26/05/14
9
Доказать, что фундаментальное решение дифференциального оператора с постоянными коэффициентами не может иметь компактный носитель.
Вроде получается так. Пусть наш оператор $ L $. Фундаментальное решение нашего оператора - имеет вид $ \Theta(x)\cdot y(x) $, где $y$ решение $ L \cdot y = 0$, с некоторыми начальными условиями. Но тогда получается, что финитную функцию нельзя задать дифференциальным уравнением. Это так? И как это примерно доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.08.2014, 14:17 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.08.2014, 19:30 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение19.08.2014, 21:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вообще-то у операторов не бывает решений. В принципе не бывает -- ни фундаментальных, ни вообще никаких. А поскольку ничего не сказано, о каком конкретно типе операторов идёт речь, ситуация становится и вовсе интересной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение19.08.2014, 22:24 


26/05/14
9
Задачник Бородин Шейпак. Тема Фундаментальные решения.
Пусть $  L = P (\frac{d}{dx_1}, \cdots , \frac{d}{dx_1})$ - дифференциальный оператор конечного порядка с постоянными комплексными коэффициентами. (P - комплексный многочлен от n переменных). Фундаментальным решением для этого оператора называется любая обобщенная функция $ E \in D'(\mathbf R^n) $, удовлетворяющая условию $ L(E) = \delta_0$. Это определение из задачника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение19.08.2014, 23:16 


10/02/11
6786
если решение имеет компактный носитель, то его фурье-образ -- целая функция

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение13.09.2014, 19:08 


26/05/14
9
Хм. ну это не особенно что дает. В том же задачнике предложен такой вариант нахождения решения. Применим преобразование Фурье . Получим $ P(i\lambda_1, \dots ,i\lambda_n)\widehat{A} = 1/(2\pi)^{n/2} $. Тогда $ \widehat{A} = P^{-1}(i\lambda_1, \dots ,i\lambda_n) / (2\pi)^{n/2}$. Посмотрим на обратное преобразование Фурье этого многочлена. Если у него нет действительных корней то все прекрасно интегрируется . Или я неправильно понимаю определение целой функции по отношению к функции из $\mathbf R^n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение14.09.2014, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
artvl в сообщении #907407 писал(а):
Или я неправильно понимаю определение целой функции по отношению к функции из $\mathbf R^n$?

Разумеется. Что такое целая функция одного переменного? $n$ переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение14.09.2014, 18:24 


26/05/14
9
Из вики : целая - голоморфная везде кроме может $ \infty$. Но это в $ \mathbf C^n$. А мы в $\mathbf R^n$ . Там целая - дифференцируемая везде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение14.09.2014, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Целой функцией называется аналитическая функция с бесконечным радиусом сходимости. Поэтому любая целая функция определена всюду $\mathbb{C}^n$.

У Вас явно не хватает базы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение14.09.2014, 22:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #907737 писал(а):
Целой функцией называется аналитическая функция с бесконечным радиусом сходимости. Поэтому любая целая функция определена всюду $\mathbb{C}^n$.

Вообще-то скорее наоборот, причём категорически. Это насчёт базы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение14.09.2014, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Поскольку полином порядка выше $0$ имеет нули в $\mathbb{C}^n$ то $P^{-1}(i\lambda_1, \dots ,i\lambda_n) / (2\pi)^{n/2}$ не может быть целой функцией (за исключением тривиального случая оператора умножения на константу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение15.09.2014, 13:22 


26/05/14
9
Можно некоторые разъяснения? Преобразование Фурье переводит вещественнозначные функции в вещественнозначные. То есть мы рассматриваем $ P^{-1} (i\lambda_1 , \cdots, i\lambda_n) /(2\pi)^{n/2}$ как функцию из $ \mathbf R^n$. Как тогда доопределить её для $ \mathbf C^n$ . И что как вообще до определять функции таким образом? ( например то, что Фурье-образ финитной есть целая, хотя финитная была из $ \mathbf R^n$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теоретическая на фундаментальное решение оператора.
Сообщение15.09.2014, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Если у Вас есть функция с (или распределение) компактным носителем, то преобразование Фурье $\hat{u}(\xi)= (2\pi)^{-n} (u, e^{-i\langle x,\xi\rangle}$ определено в $\mathbb{C}^n$ и это будет целая функция.

Более общо: если $u$ имеет носитель в $\{x:\, x_n>0\}$ то преобразование Фурье продолжается голоморфным образом в $\Im \xi_n <0$. См. подробнее Теорему Пэли-Винера (для распределений просто условия роста будут немного другими; при этом в точных формулировках обратное утверждение также верно).

В частности, можно переформулировать "носитель $u$ лежит в конусе $\Gamma$" (коническом мн-ве) через "$\hat{u}$ продолжается голоморфным образом в $\mathbb{R}^n-i \Gamma ^*$" (плюс условия роста), где $\Gamma^*$—двойственный конус.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group