2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение09.08.2014, 23:03 
Аватара пользователя


01/12/06
113
Москва
Shtorm в сообщении #894711 писал(а):
Что значит, будут лежать на двух осях гиперболы?

Описка.

Точки искомой кривой лежат на двух ветвях гиперболы. А точки гиперболы лежат на искомой кривой. Искомая кривая совпадает с двумя ветвями гиперболы, формула которой приведена выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение09.08.2014, 23:21 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sashamandra, ага, ясно.
Но меня удивило то, что Вы не использовали классические обозначения
Sashamandra в сообщении #894630 писал(а):
Пусть расстояние между ними будет $2a$.

А классически расстояние между ними $2c$,
Sashamandra в сообщении #894630 писал(а):
Пусть расстояния произвольной точки кривой до опорных точек будут отличаться (большее расстояние от меньшего) на $2b$.

а классически на $2a$, причём $c^2=a^2+b^2$
В итоге, при соответствующем выборе системы координат получаем каноническое уравнение гиперболы:
$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение10.08.2014, 02:38 
Аватара пользователя


01/12/06
113
Москва
Shtorm в сообщении #894784 писал(а):
меня удивило то, что Вы не использовали классические обозначения

Во-первых, я не знаю "классическое обозначение". Если и знал, то забыл. Вам шашечки или ехать?

Во-вторых, в моих обозначениях при $a < b$ формула определяет геометрическое место точек (в форме эллипса), у которых сумма расстояний до опорных точек равна $2b$. Другими словами, моя формула демонстрирует не просто формальную близость гиперболы и эллипса (плюс заменяется на минус и наоборот), а смысловое единство их определений.

В случае $a = b$ эллипс вырождается в отрезок, соединяющий опорные точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение10.08.2014, 04:27 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sashamandra в сообщении #894826 писал(а):
Во-вторых, в моих обозначениях при $a < b$ формула определяет геометрическое место точек (в форме эллипса), у которых сумма расстояний до опорных точек равна $2b$. Другими словами, моя формула демонстрирует не просто формальную близость гиперболы и эллипса (плюс заменяется на минус и наоборот), а смысловое единство их определений.


Ваше уравнение
Sashamandra в сообщении #894630 писал(а):

$${x^2} - \frac{{{y^2}}}{{{{(a/b)}^2} - 1}} = {b^2}$$


в классических обозначениях перепишется как:
$${x^2} - \dfrac{y^2}{\left(\frac{c}{a}\right)^2 - 1} = {a^2}$$
По определению эксцентриситет гиперболы (эллипса) $\varepsilon=\frac ca$ подставляем и получаем:
$${x^2} - \dfrac{y^2}{\varepsilon^2 - 1} = {a^2}$$
Для гиперболы $\varepsilon >1$, для эллипса $\varepsilon <1$ вот Вам и связь уравнений эллипса и гиперболы. А уравнение гиперболы, записанное в каноническом виде
$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$
где $a$ и $b$ - размеры полуосей гиперболы, удобно тем, что сразу показывает координаты вершин гиперболы, сразу по формуле расстояние между фокусами, координаты фокусов и сразу уравнения асимптот гиперболы. Да и сразу понятно как ветви расположены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение10.08.2014, 05:42 
Аватара пользователя


01/12/06
113
Москва
Shtorm в сообщении #894839 писал(а):
в классических обозначениях перепишется как:

Буду иметь в виду, что в классических обозначениях $a \to c,\;b \to a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение10.08.2014, 05:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1878
СПб

(Оффтоп)

Sashamandra в сообщении #894826 писал(а):
смысловое единство

любовь

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение11.08.2014, 03:01 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sashamandra в сообщении #894660 писал(а):
Случай $a = b$ вырожденный. График вырождается в два луча, исходящие из точек с координатами $(a,0)$ и $( - a,0)$ и направленные по оси $x$ в противоположные от начала координатной оси стороны.

Ну, а в случае $b = 0$ график совпадает с осью $y$.


Правильно ли я понял, что в этих случаях, если плюс к этому, другие два микрофона, расположенные под углом к первым двум тоже дали вырожденный случай, то достаточно найти точку пересечения лучей или прямых, и это и будет точка расположения источника звука?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение11.08.2014, 07:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5249
Москва
В общем, правильно. Но это довольно маловероятный случай, и в соответствующих наставлениях его даже не рассматривают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение11.08.2014, 10:01 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Евгений Машеров, я тоже сначала подумал, что маловероятный. Ведь эти микрофоны располагают перед линией фронта на своих позициях, если речь идёт о пушках, миномётах и т.п как об источнике звука. Но потом вспомнил боевую сводку, упоминаемой Вами горячей точки - ведь противники расположены между населёнными пунктами практически в шашечном порядке и довольно часто происходят прорывы и окружения. Значит ситуация, когда миномётный расчёт оказался сбоку от микрофонов - в одну прямую линию с двумя микрофонами - вполне вероятный, не говоря уже о ситуации, когда разность расстояний от микрофонов до источника звука равна нулю. И я вот теперь думаю, что кода студентам на лекции рассказываю про гиперболу, стоит наверно говорить и про вырожденные случаи. Или не говорить, но тогда писать для фокальных радиусов $r_1$ и $r_2$ гиперболы $|r_1-r_2|=2a\ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение12.09.2014, 08:55 


07/08/14
11
http://downloads.hindawi.com/journals/v ... 935925.pdf
A Synthesizable VHDL Model of the Exact Solution for Three-dimensional Hyperbolic Positioning System
RALPH BUCHER and D. MISRA

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение12.09.2014, 08:57 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5625
 i  Oval, ссылку следует снабжать описанием того, что за ней находится

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение12.09.2014, 09:26 


07/08/14
11
Deggial в сообщении #906891 писал(а):
 i  Oval, ссылку следует снабжать описанием того, что за ней находится

Done

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая с постоянной разностью расстояний до 2 точек
Сообщение12.09.2014, 10:58 
Аватара пользователя


14/10/13
310
ИСН в сообщении #894086 писал(а):
Вы должны ввести, не дядя.

(Оффтоп)

Подумал было, что "дядя" - это глагол (как "не глядя").

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group