сравнение степенных башен

[RIP]

Доказать, что для любых натуральных (т.е. положительных целых) чисел $a_1,\ldots,a_m$ справедливо сравнение

$$a_1^{\displaystyle a_2^{\displaystyle \cdot^{\displaystyle \cdot^{\displaystyle \cdot^{\displaystyle a_m}}}}}\equiv\ a_1^{\displaystyle a_2^{\displaystyle \cdot^{\displaystyle \cdot^{\displaystyle \cdot^{\displaystyle a_{m-1}}}}}}\pmod m.$$

P.S. Колво чисел можно уменьшить, просто хотелось формулировку попроще.

[ИСН]

Ух!
А если подумать, то ничего и не остаётся.
Сказанное эквивалентно(*) чему? Что башни, начинающиеся с $a_2$, равны по модулю $\varphi(m)$; следующие (после отрезания следующего нижнего элемента) - по модулю $\varphi(\varphi(m))$, ну и так далее. Поскольку $\varphi(m)<m$, то так дойдём до самого низа.
(Поскольку $\varphi(m)$ ещё и чётно, то число шагов действительно можно уменьшить до логарифмического от $m$.)

[maxal]

Напомнило: post130069.html#p130069