2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 12:24 


08/09/14
43
$ u_t = u_{xx} +e^t\sin x$
$ u|_{t=0} = \sin x $
Можно решать по Пуассону , но формула громоздкая. Хотелось бы узнать как тут применить метод разделения переменных

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Если мы разделим переменные для однородного ур-ния теплопроводности, и отбросим неограниченные функции, то увидим, что есть функция которая по $x$ только и встречается в нашей задаче, а именно $\sin (x)$.

Теперь ищем решения исходной задачи в виде $u=T(t) \sin (x)$ с неизвестной ф-ей $T(t)$, для которой получаем задачу Коши для ОДУ 1-го порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 14:46 


08/09/14
43
$T'(t) = - T(t) + e^t$
правильно ли я понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
tetricka12 в сообщении #905869 писал(а):
$T'(t) = - T(t) + e^t$
правильно ли я понимаю?

А где начальное условие? Так Вы решайте, решайте,… не переспрашивайте на каждом шажке

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 15:28 


08/09/14
43
$   T'(t)  = - T(t) + e^t   $
$   T'(0)  = \sin x $

$   T(t) = C e^{-t} + \frac{e^t}{2} $

подставляя начальное условие получаем , что
$  C = \sin x - \frac{1}{2}$


Отсюда получаем , что $  T(t) =(\sin x - \frac{1}{2}) e^{-t} + \frac{e^t}{2}    $
Но в ответе другой ответ. И я не могу понять в чем ошибка.
P.s правильный ответ должен быть $\ch t \sin x$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
tetricka12 в сообщении #905890 писал(а):
$   T'(0)  = \sin x $

Ошибка ($=1$). И Вас интересует в конце дня не $T$, а $u$!

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 16:13 


08/09/14
43
Да, точно, $ T'(0) = 1 $ ))) , ну тогда получается что
$ T(t) = \ch t $
ну и отсюда получаем , что $ u = T(t) \sin x = \ch t \sin x$
Все, понял. Оказывается не так сложно и решается.


У меня один вопрос, вот есть еще 1 задача
$u_t = u_{xx} + 3t^2$
$u|_{t=0}= \sin x$
как тут надо будет представить u??
тут ведь не сработает если представить $u = T(t)\sin x$ . Я бы хотел понять , как это все делается.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
tetricka12 в сообщении #905904 писал(а):
У меня один вопрос, вот есть еще 1 задача


$u=u_1+u_2$, где $u_1$ решает задачу с нулевыму начальными условиями и тогда $u_1=T_1(t)$, a $u_2$ с нулевой п.ч.

Вообще помните о линейности!

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 16:57 


08/09/14
43
обозначу
$u_1 =v$
$u_2 = w$
для простоты
$ v_t=v_{xx} +3t^2 $
$ v|_{t=0} = 0 $
$v = T(t) $
$ T'(t)=3t^2$
$T(t) = c + t^3$
$ T(0) = 0 = c$
$ v=T(t) = t^3$



$w_t = w_{xx}$
$w|_{t=0}=\sin x$
$w= T(t)\sin x$
$T'(t) +T(t) = 0$
$T(t) = c e^{-x}$
$T(0)=1=ce^{-x}$
$ c=1$
$w= T(t)\sin x = e^{-x}\sin x$


$u = v+w$
$u = t^3 +e^{-t}\sin x$




правильно ли я сделал?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Коши дял уравнения теплопроводности
Сообщение09.09.2014, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Проверьте подстановкой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group