2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 08:01 


16/12/13
39
Пусть $F$ - конечное поле из $p$ элементов. Правильная ли получилась формула количества $n \times n$ матриц ранга $k$ над полем $F$ ?
$p^{k(n-k)}((p^n-1)(p^n-p) \dots (p^n-p^{k-1}))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 08:33 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Нет. Например, при $k=1$ получается не то, что должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 09:30 


16/12/13
39
nnosipov в сообщении #904938 писал(а):
Нет. Например, при $k=1$ получается не то, что должно быть.

А что должно быть при $k=1$, разве не $p^{n-1}(p^n-1)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 10:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Должно быть $(p^n-1)^2$. Проверьте при $n=p=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 12:52 
Заслуженный участник


14/03/10
867
nnosipov в сообщении #904955 писал(а):
Должно быть $(p^n-1)^2$.
вроде бы, $\frac{(p^n-1)^2}{p-1}$ на самом деле

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 13:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да, согласен, надо поделить на $p-1$. Почему-то показалось, что все произведения $uv$ ($u$ --- столбец, а $v$ --- строка) будут разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 13:09 
Заслуженный участник


14/03/10
867
В общем случае можно дать почти такое же решение: матрицы ранга $k$ -- это матрицы, представимые в виде произведения матриц $A$ и $B$ размеров $n\times k$ и $k\times n$ полного ранга. Причем если $A$ и $B$ пробегают все матрицы полного ранга, то каждая из матриц ранга $k$ встретится среди произведений ровно столько раз, сколько базисов в $\mathbb{R}^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение07.09.2014, 13:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да, о чём-то таком сразу подумалось (всплыл в памяти номер 627 из задачника Проскурякова, где матрица ранга $k$ представлялась как сумма $k$ матриц ранга 1). Но да, здесь удобнее говорить о произведении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение08.09.2014, 17:58 


16/12/13
39
patzer2097 в сообщении #905026 писал(а):
В общем случае можно дать почти такое же решение: матрицы ранга $k$ -- это матрицы, представимые в виде произведения матриц $A$ и $B$ размеров $n\times k$ и $k\times n$ полного ранга. Причем если $A$ и $B$ пробегают все матрицы полного ранга, то каждая из матриц ранга $k$ встретится среди произведений ровно столько раз, сколько базисов в $\mathbb{R}^k$.

Сомнительное утверждение, получается $((p^n-1) \dots (p^n-p^{k-1}))^2/((p^n-1) \dots (p^n-p^{k-1}))=((p^n-1) \dots (p^n-p^{k-1}))$, если я не ошибаюсь

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение08.09.2014, 18:33 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bahad, Вы поделили на число базисов в каком пространстве? Надо в $F^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение08.09.2014, 19:19 


16/12/13
39
nnosipov в сообщении #905595 писал(а):
bahad, Вы поделили на число базисов в каком пространстве? Надо в $F^k$.

В знаменателе, наверное, должно быть вот это $(p^k-1)(p^k-p) \dots (p^k-p^{k-1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество матриц ранга k
Сообщение08.09.2014, 20:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bahad в сообщении #905624 писал(а):
В знаменателе, наверное, должно быть вот это $(p^k-1)(p^k-p) \dots (p^k-p^{k-1})$
Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group