2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 непрерывность функционала
Сообщение07.09.2014, 22:14 


29/03/11
53
Помогите определить, непрерывен ли функционал $f$
$x \in l_2$
В пространстве $l_2$: $x=(\zeta_1,\zeta_2,...)$ и $||x||= (\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k^2|)^{1/2}$
$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta_{2k}}{k}$

Линейность показывается без труда.
Чтоб доказать непрерывность, покажем ограниченность
$||f(x)||=...\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k|$

Но, Из сходимости $ \sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k^2|$ (напомню, $x \in l_2$) не следует сходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k|$
то есть, не вижу возможности представить $||f(x)||\leq C||x||=C\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k^2|)^{1/2}$
есть другие возможности показать ограниченность?

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывность функционала
Сообщение07.09.2014, 22:20 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Поможет неравенство Гёльдера

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывность функционала
Сообщение07.09.2014, 22:32 


29/03/11
53
вы это имеете ввиду?
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k1| \leq (\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k|^2)^{1/2}(\sum\limits_{k=1}^{\infty}1^2)^{1/2}$
вторая сумма бесконечна

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывность функционала
Сообщение07.09.2014, 22:35 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Нет, это нужно к $f(x)$ применить

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывность функционала
Сообщение07.09.2014, 23:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
cool.phenon в сообщении #905254 писал(а):
Поможет неравенство Гёльдера

Не Гёльдера -- это шибко уж высшая математика. Поскольку в эль-именно-два, то попросту Коши-Буняковского.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывность функционала
Сообщение08.09.2014, 17:44 


29/03/11
53
$cool.phenon$
$ewert$

да, я изначально не тем путём пошёл, спасибо за подсказку

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group