2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 трехмерное нормальное распределение
Сообщение10.12.2007, 14:27 


11/11/07
80
День добрый!

Вообщем стал искать про многомерное нормальное распределение и везде какими-то кусками написано или общеизвестные факты ... типа формул и т.д.

Далее я напишу то что понял из найденного материала если что-то не так поправьте меня.

Как известно формула для рассчета многомерного нормального распределения выглядит следующим образом:
$f(x_1,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac n2}|\Sigma|^{\frac12}}e^{-\frac12 (x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)},$
где $\mu$ - вектор средних значений, $x$ - вектор переменных и $\Sigma$ - матрица ковариации.

Далее по поводу матрицы ковариации (ошраничимся трехмерным случаем) ... насколько я понимаю собственные вектора этой матрицы показывают ориентацию гиперэллипоида в пространстве, т.е. куда направлены его полуоси.
Корни из собственных значений будут $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ и будут стандартными отклонениями по трем осям.

До этого момента я написал то что мне удалось узнать и более менее понять ...
Теперь вопрос.
Представим, что у меня есть какая-то выборка от трех неизвестных, на ее основе я рассчитал нужные величины, построил тот самый эллипсоид ... и теперь меня интересует как взяв произвольную точку из простравнства $M(x_0,y_0,z_0)$ посчитать для нее вероятность, т.е. в какой из вероятностных эллипсоидов она попадет. Рассчитать коэффициент $k$ при $k\sigma_x, k\sigma_y, k\sigma_z$, т.к. $k=1$ соответствует 68%, достаточно не сложно используя некоторые методы из аналитической геометрии.
Я догадываюсь, что придется считать тройной интеграл, но по какой области его брать в этом то и состоит мой вопроси нельзя ли это сделать как то полегче.

Заранее благодарен за любые комментарии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 14:39 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
zuj писал(а):
Как известно формула для рассчета многомерного нормального распределения выглядит следующим образом:


Это только для невырожденного случая, когда отсутствуют линейные зависимости между компонентами.

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

$f$ - это плотность распределения.

Для точки $M$ нет понятия "вероятность", вероятность любой точки равна нулю. Но Вы можете посчитать значение плотности в этой точке - просто подставив в формулу для $f$, если все параметры Вам известны.

Это все, что я смог понять из Вашего вопроса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 15:00 


11/11/07
80
Во первых, прошу прогщения если неправильно ипсользовал какие то термины.

Далее ...
Цитата:
Это только для невырожденного случая, когда отсутствуют линейные зависимости между компонентами.

Можно об этом чуть поподробнее или хотябы ссылку.

Цитата:
Для точки $M$ нет понятия "вероятность", вероятность любой точки равна нулю. Но Вы можете посчитать значение плотности в этой точке - просто подставив в формулу для $f$, если все параметры Вам известны.

В том то и дело что прлотность я посчитать просто подставив в формулу не могу так как там есть вектор неизвестных $x=(x,y,z)$, который насколько я понимаю и нужен для определения области интегрирования. Пусть вас не смущает $x$ они разные этим я указываю на место в формуле где находятся эти неизвестные.

 Профиль  
                  
 
 Re: трехмерное нормальное распределение
Сообщение10.12.2007, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
zuj писал(а):
Я догадываюсь, что придется считать тройной интеграл, но по какой области его брать в этом то и состоит мой вопроси нельзя ли это сделать как то полегче.

Заранее благодарен за любые комментарии.


Брать интеграл нужно по той области, вероятность попадания в которую точки $M_0$ Вы хотите рассчитать. Вероятность попадания в саму точки, как уже было сказано, равна нулю (область в этом случае есть одна точка).

Добавлено спустя 5 минут 49 секунд:

zuj писал(а):
Можно об этом чуть поподробнее или хотябы ссылку.

Все просто. Когда компоненты случайного гауссовского вектора линейно зависимы, ковариационная матрица становится необратимой (вырожденной, определитель равен нулю), и плотности не существует.

zuj писал(а):
В том то и дело что прлотность я посчитать просто подставив в формулу не могу так как там есть вектор неизвестных $x=(x,y,z)$, который насколько я понимаю и нужен для определения области интегрирования. Пусть вас не смущает $x$ они разные этим я указываю на место в формуле где находятся эти неизвестные.

$x,y,z$ это не неизвестные, это аргументы. Вместо них и подставляйте координаты точки. Найдете плотность в этой точке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 15:09 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я рекомендую читать по этому поводу учебник Ширяева "Вероятность", раздел "Гауссовские системы".

 Профиль  
                  
 
 Re: трехмерное нормальное распределение
Сообщение10.12.2007, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Объясните, пож-та вот эту фразу
zuj писал(а):
посчитать для нее вероятность, т.е. в какой из вероятностных эллипсоидов она попадет.

у Вас же один эллипсоид, что Вы тут имеете в виду?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 15:40 


11/11/07
80
Цитата:
Я рекомендую читать по этому поводу учебник Ширяева "Вероятность", раздел "Гауссовские системы".

Спасибо попробую найти

Цитата:
у Вас же один эллипсоид, что Вы тут имеете в виду?

Эллипосид то один, но под этим я подразумевал, то что он может либо расширяться либо сужаться взависимости от коэффициента $k$ а вот коэффициент $k$ как раз и зависит от места положения этой произольной точки $M$ в пространстве, т.е. это может быть эллипсоид с длинами полуосей $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ либо $2\sigma_x, 2\sigma_y, 2\sigma_z$ и т.д.

Если есть еще какие-нибудь комментарии или замечания пожалуйста с удовольствием выслушаю.

PS: Да и такой вопрос как сделать чтобы цитата у меня ссылалась на конкретного человека, а не писалась просто Цитата

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
zuj писал(а):
а вот коэффициент $k$ как раз и зависит от места положения этой произольной точки $M$ в пространстве, т.е. это может быть эллипсоид с длинами полуосей $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ либо $2\sigma_x, 2\sigma_y, 2\sigma_z$ и т.д.

Секундочку-ка. Эллипсоид это поверхность уровня функции плотности. А точка может находиться где угодно, но как по единственной точке Вы собираетесь вычислить парметры распределения? (а коэффициент $k$ напрямую относится к ковариационной матрице)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 15:58 


11/11/07
80
Цитата:
Секундочку-ка. Эллипсоид это поверхность уровня функции плотности. А точка может находиться где угодно

Так оно и есть

Цитата:
но как по единственной точке Вы собираетесь вычислить парметры распределения?

В том то и дело что выше я писал, что параметры будут вычисляться не относительно точки а предположим есть какая то выборка и исходы из этой выборки и будут вычислены нужные параметры: средние, матрица ковариации и т.д.

Цитата:
(а коэффициент $k$ напрямую относится к ковариационной матрице)

А коэффициент $k$ можно вычислить следующим образом ... "единичные" $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ у нас есть и после приведения точки в систему координат эллипсоида дело не хитрое уже вычислить это $k$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Или Вам нужно вычислить $k$, при котором точка попадет на границу эллипсоида?

Добавлено спустя 50 секунд:

Пока писал, Вы ответили

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 16:06 


11/11/07
80
Цитата:
Или Вам нужно вычислить $k$, при котором точка попадет на границу эллипсоида?

Именно

Цитата:
Пока писал, Вы ответили


Такая же история :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Ну если у Вас есть уравнение эллипсоида, то это не должно предатслвять сложности. Или можно повернуть $M_0$ преобразованием $\Sigma^{-1/2}$, перейдя тем самым в систему координат с оясми. човпадающими с осями эллипсоида.

Добавлено спустя 15 минут 31 секунду:

Henrylee писал(а):
Ну если у Вас есть уравнение эллипсоида, то это не должно предатслвять сложности.

Тут глупость сказал. Тогда поворот.

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

Точнее всего будет сказать так:
Возьмите функцию многомерного гауссовского распределения: $F(x_1,\dots,x_n)$ и рассмотрите преобразование следующего вида
$$
\left\{\begin{array}{rcl}
y_n&=&F_n^{-1}\left(F(x_n|x_1,\dots,x_{n-1})\right)\\
y_{n-1}&=&F_{n-1}^{-1}\left(F(x_{n-1}|x_1,\dots,x_{n-2})\right)\\
\dots\\
y_1&=&x_1
\end{array}
\right.
$$
Подставляя свою точку $M_0$ сюда, Вы получите ее координаты в системе координат, где компоненты вектора независимы. А дальше из геометрических соображений.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Здесь $F_k(x)$ - маргинальная ф.р. компоненты $k$, если эллипсоид центрирован, это $\Phi\left(\frac{x}{\sigma_k}\right)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.12.2007, 17:23 


11/11/07
80
Да с нахождением $k$ у меня проблем не возникает я не очень понимал как потом считать плотность распределения относительно этой точки ... но из Ваших с PAV-ом комментариев уже могу сделать кое-какие умозаключения

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group