2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Всеукраинский турнир матбоев 2007, 2-й матбой
Сообщение30.10.2007, 20:58 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Киев


Математический бой №2
30.10.2007
Младшая лига


1. Задан остроугольный треугольник $ABC$. $O$~--- центр описанной окружности, Н~--- ортоцентр, и $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$~--- высоты $\triangle ABC$. Обозначим через $A_1$, $B_1$, $C_1$~--- центры окружностей, описанных около треугольников $BOC$, $COA$ и $AOB$ соответственно. Доказать, что прямые $A_1H_A$, $B_1H_B$, $C_1H_C$ пересекаются в однои точке, лежащей на прямой Эйлера $\triangle ABC$. Прямой Эйлера треугольника является прямая, соединяющая центр описанной окружности и центр тяжести треугольника.

2. Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ удовлетворяет следующим условиям:\\
1) $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$;\\
2) расстояния между этими парами параллельных прямих~--- одинаковые;\\
3) $\angle FAB=\angle CDE=90^{\circ}$.\\
Доказать, что диагонали $BE$ и $CF$ шестиугольника пересекаются под углом $45^{\circ}$.

3. На доске один или несколько раз подряд записали натуральное число $a$ в десятичной записи и получили двоичную запись того самого числа $a$. Найдите все возможные значения $a$.

4. Восемь команд разыгрывают первенство в один круг, т.\,е. каждая команда играет с каждой другой 1 раз, при этом расписание соревнования составлено по турам~--- в каждом туре играет каждая команда. Через какое наименьшее количество туров с начала чемпионата могут быть уже известны команды, занявшие первое и последнее места (т.\,е. при любых других результатах в оставшихся турах эти команды все равно наберут наибольшее и наименьшее количество очков в строгом понимании), если это было:\\
а) первенство по волейболу, где за победу команда получает 1 очко, за поражение~--- 0 очков и
ничьих не бывает;\\
б) первенство по гандболу, где за победу команда набирает 2 очка, за поражение~--- 0 очков, за
ничью каждая команда набирает 1 очко?

5. Найти количество пар натуральных чисел $(n,m)$, удовлетворяющих уравнению $(2^k)!=2^nm$ ($n$-факториал~--- это число $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$).

6. Задан граф с $n$ вершинами. Доказать, что можно ввести ориентацию на его ребрах таким образом, чтобы модуль разности между количествами ребер, входящих в вершину и выходящих из нее, не превышал единицы.

7. Решить систему уравнений:
$$
\left\{
\begin{aligned}
3(x^2+y^2+z^2)&{}=1,\\
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2&{}=xyz(x+y+z)^3.
\end{aligned}
\right.
$$

8. Для произвольных неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$ доказать неравенство:
$$
\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\,\lvert(x-y)(x-z)(y-z)\rvert.
$$

9. Найти все множества $A\subset\mathbb{N}$, которые содержат по крайней мере два числа и таких, что для каждых двух
разных $x,y\in A$ число $\frac{x+y}{(x,y)}\in A$ ($(x,y)$~--- НОД чисел $x$, $y$).

10. Последовательность чисел $\{a_n\}$ задается по правилу: $a_1=a_2=1$, $a_n=\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}$, $n\ge3$. Доказать, что все члены последовательности~--- целые числа.

Математический бой №2
30.10.2007
Старшая лига


1. Задан остроугольный треугольник $ABC$. $O$~--- центр описанной окружности, Н~--- ортоцентр, и $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$~--- высоты $\triangle ABC$. Обозначим через $A_1$, $B_1$, $C_1$~--- центры окружностей, описанных около треугольников $BOC$, $COA$ и $AOB$ соответственно. Доказать, что прямые $A_1H_A$, $B_1H_B$, $C_1H_C$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера $\triangle ABC$. Прямой Эйлера треугольника является прямая, соединяющая центр описанной окружности и центр тяжести треугольника.

2. Точка $P$ выбрана на стороне $AB$ треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ выбраны точки $X$, $Y$ соответственно таким образом, что $\angle AXP=\angle BYP$. Найти геометрическое место точек $M$~--- середин отрезков $XY$, для всех возможных пар точек $X$, $Y$.

3. Последовательность вещественных чисел $\{a_n\}$ задана рекуррентно: $a_1>0$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$. Доказать, что существует натуральное $n$, для которого $a_n>\frac{7}{10\sqrt{n}}$.

4. $p$~--- простое число и множество $S=\{1,2,\ldots,p\}$. Пусть $A_1,A_2,\ldots,A_p$~--- вершины правильного $p$-угольника, $O$~--- его центр. Найти все подмножества $\sigma\subset S$, для которых выполняется равенство: $\sum_{j\in\sigma}\overrightarrow{OA_j}=\overrightarrow{0}$.

5. Задана квадратная таблица $4\times4$. В каждой ячейке этой таблицы записан <<0>> или <<1>>. Сколько существует способов расставить эти числа так, чтобы произведение каждых двух чисел, записанных в ячейках с общей стороной, было равно 0.

6. Пусть множество $X=\mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}$. Функция $f:X\to X$ определена следующим образом: $f(x)=x-\frac{1}{x}$, $f^{(1)}=f(x)$, $f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$, $n\in\mathbb{N}$. Существует ли $x\in X$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ существует $y\in X$ такое, что $f^{(n)}(y)=x$\,?

7. Найти все множества $A\subset\mathbb{N}$, которые содержат по крайней мере два числа и таких, что для каждых двух
разных $x,y\in A$ число $\frac{x+y}{(x,y)}\in A$ ($(x,y)$~--- НОД чисел $x$, $y$).

8. В треугольнике $ABC$ с углом $\angle BAC\ge60^{\circ}$ проведены биссектрисы $BD$ и $CE$. Доказать, что $AD+AE\le BC$.

9. Решить уравнение:
$$
\frac{1}{\left(3\sqrt{\frac{3}{7}-3x^2}+x\right)^3}+\frac{1}{\left(4x-2\sqrt{\frac{3}{7}-3x^2}\right)^3}+
\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{3}{7}-3x^2}+5x\right)^3}=\frac{15}{8}.
$$

10. На доске один или несколько раз подряд записали натуральное число $a$ в десятичной записи и получили двоичную запись того самого числа $a$. Найдите все возможные значения $a$.

Начало здесь:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9720
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9732

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинский турнир матбоев 2007, 2-й матбой
Сообщение01.11.2007, 09:12 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
dm писал(а):

8. Для произвольных неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$ доказать неравенство:
$$
\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\,\lvert(x-y)(x-z)(y-z)\rvert.
$$


Максимальное $\alpha,$ при котором неравенство
$$
\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\alpha\,\lvert(x-y)(x-z)(y-z)\rvert
$$ выполняется для всех неотрицательных $x$, $y$ и $z$
равняется $$1.467889825...=f\left(\frac{1+\sqrt3+\sqrt{2\sqrt3}}{2}\right),$$ где $f(x)=\frac{x^3+1}{3(x^2-x)}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2007, 12:13 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Выложил условия всех матбоев Всеукраинского турнира (начиная с 1-го и заканчивая финальным 5-м вместе с блицем после 4-го, т.е. всё кроме карусели, которая есть здесь). Часть текстов на русском, часть на украинском. Переводить в TeX нет времени. 8-)

http://77.120.100.13/file/4385944/35688 ... i2007.djvu

Зеркало1: http://rapidshare.com/files/74871923/vs ... .djvu.html

Зеркало2: http://matholymp.kiev.ua/index.php?p=fo ... 129&area=1

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.12.2007, 14:02 
Заслуженный участник


03/12/07
344
Украина
4-й матбой, задача №2: Найти все целые p > q \ge 0, такие, что неравенство \[
\left[ {px} \right] + \left[ {py} \right] \ge \left[ {qx + y} \right] + \left[ {x + qy} \right]
\] выполнено при всех вещественных\[
x,y \in \left[ {0;1} \right]
\].

Красивый ответ: \[
\left( {p - q} \right)^2  \ge q + 1
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.12.2007, 02:22 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
dm писал(а):
2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Киев


[b]Математический бой №2


7. Решить систему уравнений:
$$
\left\{
\begin{aligned}
3(x^2+y^2+z^2)&{}=1,\\
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2&{}=xyz(x+y+z)^3.
\end{aligned}
\right.
$$



Следующее неравенство очевидно -
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geqslant 0$
Ясно, что равенство достигается только, если $a=b=c$

От этого неравенства, раскрывая скобки, можно прийти к следующему -
$(a+b+c)^2 \geqslant 3(ab+bc+ca)$

сделаем замену $a=xy, b=yz, c=zx$
получим
$(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3({y^2}xz+{z^2}xy+{x^2}yz)$
и дальше $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)$
и ещё дальше $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant xyz(x+y+z)$

Учтем, что (нетрудно доказать) $x^2+y^2+z^2 \geqslant {\frac 1 3}(x+y+z)^2$
И так как $3(x^2+y^2+z^2)=1$, то $(x+y+z)^2 \leqslant 1$

и далее
$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant xyz(x+y+z)(x+y+z)^2$

Так как $a=xy, b=yz, c=zx$
и $a=b=c$,
то решениями могут быть такие (x;y;z), что две из трёх переменных равны нулю или все три переменные равны между собой. И кроме того эти претенденты должны удлвлетворять исходным уравнениям. Всего получим 8 решений:
$ (0;0;\frac {1} {\sqrt{3}}), (0;0;-\frac {1} {\sqrt{3}}), (0;\frac {1} {\sqrt{3}};0),
 (0;-\frac {1} {\sqrt{3}};0), (\frac {1} {\sqrt{3}};0;0), (-\frac {1} {\sqrt{3}};0;0),(\frac 1 3;\frac 1 3;\frac 1 3),(-\frac 1 3;-\frac 1 3;-\frac 1 3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Всеукраинский турнир матбоев 2007, 2-й матбой
Сообщение09.12.2007, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
dm писал(а):
Математический бой №2
30.10.2007
Младшая лига


10. Последовательность чисел $\{a_n\}$ задается по правилу: $a_1=a_2=1$, $a_n=\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}$, $n\ge3$. Доказать, что все члены последовательности~--- целые числа.


Легко доказывается по индукции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group