2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 14:37 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Oleg Zubelevich в сообщении #900749 писал(а):
а почему именно постоянным?

Потому что это проще, и мы сразу гарантируем, что векторное поле не обращается в 0 (беря ненулевой вектор).

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 15:30 


24/07/14
138
popolznev в сообщении #900747 писал(а):
Для этого не нужны координаты - здесь надо воспользоваться стандартным способом введения топологии на декартовом произведении многообразий
Я в топологии дно, поэтому мне этот способ не известен. Не могли бы вы рассказать о нем, ну или дать ссылку, где почитать можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать тривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 15:58 
Аватара пользователя


14/10/13
339
_Er в сообщении #900775 писал(а):
Я в топологии дно, поэтому мне этот способ не известен. Не могли бы вы рассказать о нем, ну или дать ссылку, где почитать можно.

Да, наверное, более или менее любой учебник сгодится - например, Борисович-Близняков-Израилевич-Фоменко, Введение в топологию.

А если на пальцах, то идея такая: если $X$ и $Y$ - топологические пространства (например, $X=S^2, \ Y=\mathbb{R}^2$), то для сходимости в $X \times Y$ последовательности $(x_n, y_n)$ к элементу $(x, y)$ необходимо и достаточно, чтобы по отдельности $x_n$ сходилось к $x$ и $y_n$ сходилось к $y$.

Непрерывность отображения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ тогда очевидна: ежели $(x_n,v_n)$ стремится к $(x_0,v_0)$, то понятно, что $v_n$ стремится к $v_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 20:29 


24/07/14
138
popolznev в сообщении #900789 писал(а):
Непрерывность отображения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ тогда очевидна: ежели $(x_n,v_n)$ стремится к $(x_0,v_0)$, то понятно, что $v_n$ стремится к $v_0$.
Хм... Ну это понятно-то. Меня просто смущало, то, что я не могу понять, что из себя представляет вектор $v$ касательный к точке $b$ (например, не мог его построить). Введя локальные координаты я тогда определил, что это за вектор и как его строить.

Да и к тому же у меня же $v$ был постоянный. Все-таки меня, наверное, немного другое в плане непрерывности волновало. Так как у меня $v=\operatorname{const}$, то меня в первую очередь интересовало меняется ли направление вектора $v$ на сфере непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 21:03 
Аватара пользователя


14/10/13
339
А зачем его строить? Для решения задачи достаточно знать, что какой-нибудь ненулевой вектор в касательном пространстве существует - для двумерного пространства это совсем очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 21:11 


24/07/14
138
popolznev в сообщении #900965 писал(а):
А зачем его строить?
Я построил на сфере какое-то векторное поле $v(p)$ (вектора вообще говоря различны: как минимум их направление зависит от $p$, т.к. в касательном расслоении вектор полагается привязанным к точке), полученное при проекции всех пар вида $(p,v)$, где $v=\operatorname{const}$. Что из себя представляет это поле? Почему оно непрерывное? Вот в чем был вопрос.

popolznev, я еще немного дописал там последнее сообщение. Возможно вы не успели прочитать его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 22:27 
Аватара пользователя


14/10/13
339
_Er в сообщении #900970 писал(а):
Я построил на сфере какое-то векторное поле $v(p)$ (вектора вообще говоря различны: как минимум их направление зависит от $p$, т.к. в касательном расслоении вектор полагается привязанным к точке), полученное при проекции всех пар вида $(p,v)$, где $v=\operatorname{const}$. Что из себя представляет это поле? Почему оно непрерывное? Вот в чем был вопрос.

Дело обстоит не совсем так. Вы не забывайте, что в силу теоремы о еже такого поля не существует!

А вот сечение прямого произведения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ существует. А почему оно непрерывно - я в предпредыдущем своем сообщении уже написал, а вы даже уже ответили, что это понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение27.08.2014, 23:09 


24/07/14
138
popolznev в сообщении #901025 писал(а):
Вы не забывайте, что в силу теоремы о еже такого поля не существует!
Я же поэтому его и строю. Зачем бы мне его пытаться строить, если бы оно могло существовать!

popolznev в сообщении #901025 писал(а):
А вот сечение прямого произведения $S^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ вида $(x,v) \mapsto v$ существует. А почему оно непрерывно - я в предпредыдущем своем сообщении уже написал, а вы даже уже ответили, что это понятно.
У меня есть подозрение, что мы говорим о несколько разных вещах. Но я, кажется, знаю как можно разрулить этот момент с непрерывностью: в книге, где приведена задача, несколькими страницами ранее было сказано, что в дальнейшем будут рассматриваться только непрерывные отображения :) Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 00:28 
Аватара пользователя


14/10/13
339
_Er в сообщении #901046 писал(а):
Зачем бы мне его пытаться строить, если бы оно могло существовать!

Ух ты! Фраза достойна персонажей Льюиса Кэрролла: "Увидеть никого, да ещё и на таком расстоянии"... А если серьёзно: я вас не понял.

Цитата:
Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.

Мне показалось, что вы сейчас выразили следующее утверждение: если отображение непрерывно, то оно непрерывно. С этим-то не поспоришь...

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 09:24 


24/07/14
138
popolznev в сообщении #901058 писал(а):
А если серьёзно: я вас не понял.
Нам этом построено доказательство. Я предполагаю, что расслоение тривиально, и показываю, что в таком случае на сфере можно построить непрерывное векторное поле. Согласно теореме о еже такого поля на сфере быть не может. Значит исходное предположение ложно и расслоение нетривиально.

popolznev в сообщении #901058 писал(а):
Цитата:
Непрерывность отображения $(p,v) \to v(p)$ значит, что близким точкам $p$ соответствую "близкие" вектора $v(p)$ – это и ведет к тому, что поле на сфере непрерывно.
Мне показалось, что вы сейчас выразили следующее утверждение: если отображение непрерывно, то оно непрерывно. С этим-то не поспоришь...
Я не знаю как вам лучше пояснить этот момент. Возможно, если я скажу, что вектор $v$ из пары $(p,v)$ принадлежит $\mathbb{R}^2$, тогда как $v(p)$ – вектор из $\mathbb{R}^3$, вам будет немного понятнее, о чем я тут думаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 09:33 
Аватара пользователя


14/10/13
339
А, я понял, в чём дело (по крайней мере - в чём одно из дел): вы представляете касательное расслоение прямо геометрической картинкой в трёхмерном пространстве, в котором живёт сфера $S^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 09:44 


24/07/14
138
popolznev в сообщении #901114 писал(а):
А, я понял, в чём дело (по крайней мере - в чём одно из дел): вы представляете касательное расслоение прямо геометрической картинкой в трёхмерном пространстве, в котором живёт сфера $S^2$.
Ну да. Это плохо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать нетривиальность касательного расслоения сферы
Сообщение28.08.2014, 10:10 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Наглядное представление - это очень хорошо! Но вот путать его с определением - плохо. Если мы что-то доказываем, то доказываем для объекта, каким он определён, а не для картинки (для картинки ничего и доказать нельзя). Всё-таки стоит вам прочесть в учебнике определение касательного расслоения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group