2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел ФМП.
Сообщение25.08.2014, 12:53 


22/07/12
560
$f(x, y) = \frac{x^2y^2}{x^2y^2 + (x - y)^2}$
Нужно показать, что $\lim\limits_{x \to 0, \ y \to 0} f(x, y)$ не существует. Сначала я пробовал устремлять аргументы к нулю по множеству $y = kx$, при любом $k$ получил 0. Пробовал по параболе приближаться к точке $(0, 0)$, все равно 0. Не перебирать же мне все возможные функции? Если бы в задании не было сказано, показать, что предела не существует я бы с уверенностью решил, что предел равен 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение25.08.2014, 13:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
main.c в сообщении #899671 писал(а):
при любом $k$ получил 0.

Не получится. Проверьте еще раз очень внимательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение25.08.2014, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #899671 писал(а):
Сначала я пробовал устремлять аргументы к нулю по множеству $y = kx$, при любом $k$ получил 0.
Прямо при любом? Посмотрите на свои вычисления внимательнее. Если ничего не увидите, выложите их сюда. Вот и Otta о том же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение25.08.2014, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
В дополнение к тому, что написали Otta и Someone:
Числитель имеет 4й порядок малости, то же самое -- первый член в знаменателе. А вот второй член имеет 2й порядок малости, но … он может обратиться в 0! Когда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение25.08.2014, 13:15 


22/07/12
560
Someone в сообщении #899677 писал(а):
main.c в сообщении #899671 писал(а):
Сначала я пробовал устремлять аргументы к нулю по множеству $y = kx$, при любом $k$ получил 0.
Прямо при любом? Посмотрите на свои вычисления внимательнее. Если ничего не увидите, выложите их сюда. Вот и Otta о том же.

Да, я уже понял, что при $k  = 1$, предел равен 1, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение27.08.2014, 18:19 


22/07/12
560
Не стал создавать новую тему, потому что по сути одно и то же. Нужно доказать, что:
$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{\sin xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, &\sqrt{x^2 + y^2} \neq 0; \\ 0, &\sqrt{x^2 + y^2} = 0; \end{cases}$$
непрерывна в начале координат.
Фактически нужно доказать, что предел в (0, 0) равен 0. Вот с пределами ФМП у меня есть некоторое непонимание. Когда мы стремимся к предельной точке по какому-нибудь множеству - это ещё не значит, что предел существует. Мало того, даже когда таких множеств несчётное количество, это все равно ни о чём не говорит. Как в таком случае действовать? Это хорошо, что мне дано задание "докажите", то есть заведомо всё известно. А если бы мне сказали просто найти предел в (0, 0). Как тогда быть в таких заданиях. Находил пару примеров в учебнике, но они все сводятся к тому, что $\sqrt{x^2 + y^2}$ обозначается за $\rho$, затем всё выражется через это $\rho$ и считается предел ФОП. Но как быть тут? Разве $xy$ выражается через $\rho$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение27.08.2014, 18:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$(x-y)^2\geqslant0\ \Rightarrow.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение27.08.2014, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
main.c в сообщении #900863 писал(а):
Разве $xy$ выражается через $\rho$?

Оно сверху (по модулю) ограничивается через него.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел ФМП.
Сообщение27.08.2014, 18:46 
Аватара пользователя


25/02/11
234
А если домножить и поделить на $xy,$ а потом воспользоваться тем, что $x\leq \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}},\ y\leq \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group