2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение24.08.2014, 14:53 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться можно ли для полученного диф. уравнения сепаратрисы
$\ddot{x}-2\varepsilon(\dot{x})^2 + e^2\varepsilon^2e^{2\varepsilon x} = 0$
найти решения в терминах спец. функции Ламберта.
В известных функциях найти решения не получается, как это часто бывает при решении более-менее реальных задач. А со спец. функциями Ламберта я раньше никогда не сталкивалась и пока что мне не удаётся свести его к ур. для этой функции. Возможно ли это? Как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение24.08.2014, 17:02 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Сделайте замену $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ и уравнение линеаризуется.
P.S.Функция Ламберта тут вообще ни при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 13:21 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Ms-dos4 в сообщении #899255 писал(а):
Сделайте замену $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ и уравнение линеаризуется.

Спасибо, Ms-dos4, за отзывчивость, но я ошиблась.
Извините, пожалуйста, пропустила множитель. Уравнение имеет вид:
$\ddot{x}-2\varepsilon(\dot{x})^2 + e^2\varepsilon^2e^{2\varepsilon x}(1+e^2\varepsilon x e^{2\varepsilon x}) = 0$
И нужно найти его решение любым способом, не обязательно именно в спец. функциях Ламберта. Но, возможно, именно в них оно решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 13:39 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Ничего принципиально не меняется. Та же замена $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ линеаризует уравнение, и хотя бы в неявном виде вы решение точно получите.
P.S.Раз уж зашло об этом, напишу подробнее. Данное уравнение - специальный случай уравнения Рэлея $\[\ddot x + f(\dot x) + g(x) = 0\]$ с квадратичной зависимостью от первой производной $\[f(\dot x) = \beta {{\dot x}^2}\]$, этот случай очень хороший. Замена $\[\xi (x) = {{\dot x}^2}\]$ помогает для любой $\[g(x)\]$. Из замены получаете $\[\xi '(x) = 2\ddot x\]$, значит ваше уравнение имеет вид $\[\xi ' + 2\beta \xi  + 2g(x) = 0\]$, а оно линейное. Для него решение легко пишется $\[\xi  = {e^{ - 2\beta x}}({C_1} - 2\int {{e^{2\beta x}}g(x)dx} )\]$. Далее используя $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ имеете $$\[t = {C_2} \pm \int {\frac{{{e^{\beta x}}dx}}{{\sqrt {{C_1} - 2\int {{e^{2\beta x}}g(x)dx} } }}} \]$$
Для вашего случая $\[g(x) = {e^2}{\varepsilon ^2}{e^{2\varepsilon x}}(1 + {e^2}\varepsilon x{e^{2\varepsilon x}})\]$, сами смотрите, выразится ли в явном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 14:35 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Ms-dos4, но $\varepsilon$ - это не функция от $\dot{x}$, это любое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
DigitChar в сообщении #899727 писал(а):
но $\varepsilon$ - это не функция от $\dot{x}$, это любое число.
Тем более последуйте совету Ms-dos4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 14:40 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Someone в сообщении #899728 писал(а):
DigitChar в сообщении #899727 писал(а):
но $\varepsilon$ - это не функция от $\dot{x}$, это любое число.
Тем более последуйте совету Ms-dos4.

Хорошо, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 15:03 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
DigitChar
Так я и решал для $\[\varepsilon  = {\rm{const}}\]$. Eсли $\[\varepsilon \]$ была бы функцией $\[{\dot x}\]$ всё было бы очень плохо.

P.S.В моих обозначениях $\[\beta  =  - 2\varepsilon \]$ и $\[g(x) = {e^2}{\varepsilon ^2}{e^{2\varepsilon x}}(1 + {e^2}\varepsilon x{e^{2\varepsilon x}})\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?
Сообщение25.08.2014, 15:07 
Аватара пользователя


12/03/13
30
Ms-dos4 в сообщении #899739 писал(а):
DigitChar
Так я и решал для $\[\varepsilon  = {\rm{const}}\]$. Eсли $\[\varepsilon \]$ была бы функцией $\[{\dot x}\]$ всё было бы очень плохо.

P.S.В моих обозначениях $\[\beta  =  - 2\varepsilon \]$ и $\[g(x) = {e^2}{\varepsilon ^2}{e^{2\varepsilon x}}(1 + {e^2}\varepsilon x{e^{2\varepsilon x}})\]$

Ок, спасибо большое :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group