Интегрирование в системах компьютерной алгебры.

[Anixx]

Хочу выяснить ситуацию, в каком виде системы компьютерной алгебры (прежде всего, Mathematica) выдают неопределенные интегралы (а именно, какую константу интегрирования используют).

Всегда ли то, что они выдают является натуральным интегралом?

Натуральный интеграл определяется по формуле

$$f^{(-1)}(x)=\frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{- i \omega x}}{\omega} \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\omega t}dt \, d\omega$$

Код в системе Mathematica:

I InverseFourierTransform[FourierTransform[f[t], t, w]/w, w, x]

В случаях, когда вышеприведенная формула не работает (не сходится или преобразование Фурье для функции не берется), можно использовать другую формулу:

$$f^{(-1)}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \binom {-1}m \sum_{k=0}^m\binom mk(-1)^{m-k}f^{(k)}(x)$$

Ниже приведена таблица некоторых интегралов, полученных в системе Mathematica (как она выдаёт) и соответствующих натуральных интегралов. Сначала идет просто интеграл, как выдает Математика, потом идет натуральный интеграл, как должно быть. Я нашел только одно различие (в предпоследней функции)
$\left( \begin{array}{ccc} \sin x & -\cos x & -\cos x \\ \cos x & \sin x & \sin x \\ 1 & x & x \\ x & \frac{x^2}{2} & \frac{x^2}{2} \\ x^2 & \frac{x^3}{3} & \frac{x^3}{3} \\ e^{-x^2} & \frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{erf} (x) & \frac{1}{2} \sqrt{\pi } \text{erf} (x) \\ e^{-x^2} x & -\frac{e^{-x^2}}{2} & -\frac{e^{-x^2}}{2} \\ \sin ^2 x & \frac{1}{2} (x-\cos (x) \sin (x)) & \frac{1}{2} (x-\cos (x)\sin (x)) \\ \sin ^3 x & \frac{1}{12} (\cos (3 x)-9 \cos (x)) & \frac{1}{12} (\cos (3 x)-9 \cos (x)) \\ \cos ^3 x & \frac{1}{12} ( \sin 9 x+ \sin (3 x)) & \frac{1}{12} (\sin 9 x + \sin(3 x) ) \\ \frac{1}{x+1} & \log (x+1) & \log \left| x+1\right| +\gamma \\ \frac{1}{x^2+1} & \tan^{-1} x & \tan^{-1} x \\ \end{array} \right)$

Код таблицы:

functions := {Sin, Cos, 1 &, # &, #^2 &, Exp[-#^2] &, # Exp[-#^2] &, 
  Sin[#]^2 &, Sin[#]^3 & , Cos[#]^3 &, 1/(# - 1) &, 1/(#^2 + 1) &}
TraditionalForm[
 FullSimplify[
  Table[{f[x], \[Integral]f[x] \[DifferentialD]x, 
    I InverseFourierTransform[FourierTransform[f[t], t, w]/w, w, 
      x]}, {f, functions}]]]

А как ведут себя другие системы компьютерной алгебры? всегда ли совпадает?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Замените рисунок с формулами формулами без рисунка, пожалуйста. Нормально же было.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Pphantom]

Это, что, попытка обсудить то же самое с другой стороны?