2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 05:01 


18/08/14
57
Решал уравнение n-ой степени. Нашел интересный вариант. Результаты проверил до $n=5$.
Интересует мнение математиков. Может ли это быть?

$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$

Построим последовательности:
$F_{1}(i)=k_{11}F_{1}(i-1)+k_{12}F_{2}(i-1)+k_{13}F_{3}(i-1)+...+k_{1n}F_{n}(i-1)$
$F_{2}(i)=k_{21}F_{1}(i-1)+k_{22}F_{2}(i-1)+k_{23}F_{3}(i-1)+...+k_{2n}F_{n}(i-1)$
..........................................................................................
$F_{n}(i)=k_{n1}F_{1}(i-1)+k_{n2}F_{2}(i-1)+k_{n3}F_{3}(i-1)+...+k_{nn}F_{n}(i-1)$

Коэффициенты $k$ найдем по уравнениям:
$k_{21}=k_{31}=...=k_{n1}= a_{0}$
$k_{1n}=k_{2n}=...=k_{n(n-1)}= -a_{n}$
$k_{22}-k_{11}=k_{32}-k_{21}=...=k_{n2}-k_{(n-1)1}= a_{1}$
$k_{23}-k_{12}=k_{33}-k_{22}=...=k_{n3}-k_{(n-1)2}= a_{2}$
..........................................................................................
$k_{2n}-k_{1(n-1)}=k_{3n}-k_{2(n-1)}=...=k_{nn}-k_{(n-1)(n-1)}= a_{n-1}$

Если $i$ стремиться к бесконечности, то $F_{1}(i)/F_{2}(i)$ и будет корнем уравнения.

Здесь описан частный случай (все корни вещественные числа). Если уравнение имеет
комплексные корни, то соотношение $F_{1}(i)/F_{2}(i)$ может не сходиться.

Пример 1: $x^2+x-1=0$

$a_{0}=1, a_{1}=1, a_{2}=-1$
Найдем коэффициенты $k$
$k_{11}=1, k_{12}=1, k_{21}=1, k_{22}=2$

$F_{1}(1)=k_{11}F_{1}(0)+k_{12}F_{2}(0)=1\cdot1+1\cdot1=2$
$F_{2}(1)=k_{21}F_{1}(0)+k_{22}F_{2}(0)=1\cdot1+2\cdot1=3$

$F_{1}(2)=k_{11}F_{1}(1)+k_{12}F_{2}(1)=1\cdot2+1\cdot13=5$
$F_{2}(2)=k_{21}F_{1}(1)+k_{22}F_{2}(1)=1\cdot2+2\cdot13=8$

$F_{1}(3)=k_{11}F_{1}(2)+k_{12}F_{2}(2)=1\cdot5+1\cdot8=13$
$F_{2}(3)=k_{21}F_{1}(2)+k_{22}F_{2}(2)=1\cdot5+2\cdot8=21$

$F_{1}(4)=k_{11}F_{1}(3)+k_{12}F_{2}(3)=1\cdot13+1\cdot21=34$
$F_{2}(4)=k_{21}F_{1}(3)+k_{22}F_{2}(3)=1\cdot13+2\cdot21=55$

и т. д. Обратим внимание, что образуется ряд Фибоначчи (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55....) на бесконечности которого будем иметь соотношение $F_{1}(i)/F_{2}(i)$ равное 0.618. Это и будет одним из решений уравнения.

Для поиска второго решения нам нужно изменить коэффициенты
$k_{11}=-2, k_{12}=1, k_{21}=1, k_{22}=-1$
Построив последовательность из этих коэффициентов получим второй корень: -1.618.

Всегда имеется бесконечное число наборов коэффициентов для решения уравнения.
Коэффициенты
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} -17 & 41 \\ 41 & 24 \end{array} \right)$
также дают корень 0.618
Коэффициенты
$\left( \begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} -1.5 & 0.5 \\ 0.5 & -1 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} -24 & 41 \\ 41 & 17 \end{array} \right)$
дают корень -1.618

Пример 2: $x^{3}+2x^{2}-x-1=0$

Коэффициенты ($k$) решения выглядят:
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -2 & -3 & 5 \end{array} \right)$
дает корень -0.5550

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right)$
дает корень 0.8019

$\left( \begin{array}{ccc} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right)$
дает корень -2.2470

Пример 3: $2x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2x-1=0$

Коэффициенты
$\left( \begin{array}{ccccc} 14 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 16 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 17 & 
-1 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 18 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 20 \end{array} \right)$
Дадут единственный вещественный корень 0.3756

P.S. Если допустил какие-то ошибки (некорректности) в формулировках или раньше
кто-то подобное уже делал - сильно не ругайте:
я не имею классического математического образования.
PPS Все что в скобках - это не матрицы. Это просто набор коэффициентов для решения последовательности

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.08.2014, 05:14 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Оформите все формулы.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".
2. Сообщите общественности, что Вы делаете. Решаете уравнение, ищете одно из решений или? Необходима полная и четкая постановка задачи.
3. Приведите все необходимые определения, например, что такое "матрица-решение" в Вашей терминологии. Особенно интересно, что такое "матрица-решение для $x=\ldots$.
4.
AlexSam в сообщении #898992 писал(а):
При бесконечности: $x = y_{1}/y_{2}=y_{2}/y_{3}=...=y_{n-1}/y_{n}$
Что значит в этом контексте "при бесконечности"?
5. Не надо называть линейным уравнение, которое им не является.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.08.2014, 08:00 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 13:26 


18/08/14
57
Рассмотрю подробнее пример решения кубического уравнения:
$x^{3}+2x^{2}-x-1=0$

$a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$

$a_{0}=1, a_{1}=2, a_{2}=-1, a_{3}=-1$,
$k_{21}=k_{31}=a_{0}=1$,
$k_{13}=k_{23}=k_{33}=-a_{3}=-(-1)$, $k_{33}-k_{22}=a_{2}=-1$
$k_{22}=2$, $k_{22}-k_{11}=a_{1}=2$, $k_{11}=0$,
$k_{32}-k_{21}=a_{1}=2$,
$k_{23}-k_{12}=a_{2}=-1$, $k_{12}=2$

Получили набор коэффициентов ($k$): $\left(
\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}
\right)$

Пусть $F_{1}(0)=1$, $F_{2}(0)=1$, $F_{3}(0)=1$,
решим последовательность:
$F_{1}(1)=0\cdot1+2\cdot1+1\cdot1=3$,
$F_{2}(1)=1\cdot1+2\cdot1+1\cdot1=4$,
$F_{3}(1)=1\cdot1+3\cdot1+1\cdot1=5$

$F_{1}(2)=0\cdot3+2\cdot4+1\cdot5=13$,
$F_{2}(2)=1\cdot3+2\cdot4+1\cdot5=16$,
$F_{3}(2)=1\cdot3+3\cdot4+1\cdot5=20$

$F_{1}(3)=0\cdot13+2\cdot16+1\cdot20=52$,
$F_{2}(3)=1\cdot13+2\cdot16+1\cdot20=65$,
$F_{3}(3)=1\cdot13+3\cdot16+1\cdot20=81$

$F_{1}(4)=0\cdot52+2\cdot65+1\cdot81=211$,
$F_{2}(4)=1\cdot52+2\cdot65+1\cdot81=263$,
$F_{3}(4)=1\cdot52+3\cdot65+1\cdot81=328$

$F_{1}(5)=0\cdot211+2\cdot263+1\cdot328=854$,
$F_{2}(5)=1\cdot211+2\cdot263+1\cdot328=1065$,
$F_{3}(5)=1\cdot211+3\cdot263+1\cdot328=1328$

$F_{1}(5)/F_{2}(5)= 0.801878$
0.801878 - это корень уравнения
При большем кол-ве шагов точность увеличиться.

ссылки на программы для нахождения решений:
http://filetonet.com/AAAba66b74e9ce774b ... 3b74d4a74d
http://filetonet.com/AAAda06ba3774f7564 ... 99022703e1
http://filetonet.com/AAA647afdbfeac58b2 ... 6eeb8f5095
программы написаны на mql4

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 14:19 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
По описанию это крайне сильно напоминает метод Бернулли (и, кажется, действительно сводится к нему при некотором упрощении описания).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 16:21 


18/08/14
57
Да, очень похоже, но метод Бернулли, кажется, находит одно решение. Здесь же можно найти все решения из одного уравнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 16:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
AlexSam в сообщении #899216 писал(а):
Да, очень похоже, но метод Бернулли, кажется, находит одно решение. Здесь же можно найти все решения из одного уравнения
Хорошо, комбинация многократного последовательного применения метода Бернулли и схемы Горнера. :D

Кстати, это легко если и не проверить, то опровергнуть. Попробуйте решить этим методом какое-либо биквадратное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 16:54 


18/08/14
57
А можно оценить точность схемы Горнера при степени 30?
Какую он выдаст ошибку на 10, на 20 корне?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.08.2014, 16:58 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
AlexSam в сообщении #899247 писал(а):
А можно оценить точность схемы Горнера при степени 30?
Если известна точность вычислений, то можно. Но в подобных случаях разумнее работать с рациональными числами (примерно так действуют пакеты компьютерной алгебры).

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.08.2014, 17:52 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

По просьбе ТС.

 i  Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение22.11.2014, 06:25 


18/08/14
57
Всем, здравствуйте!
Написал систему для решения в радикалах уравнения 5-й степени в общем виде.

$x^5-k_5x^4-k_4x^3-k_3x^2-k_2x-k_1=0$

$k_1={g}^{5}\,{m}^{4}-5\,a\,d\,{g}^{3}\,{m}^{3}-5\,b\,c\,{g}^{3}\,{m}^{3}+5\,b\,{d}^{2}\,{g}^{2}\,{m}^{3}+5\,{c}^{2}\,d\,{g}^{2}\,{m}^{3}-5\,c\,{d}^{3}\,g\,{m}^{3}+{d}^{5}\,{m}^{3}+5\,{a}^{2}\,c\,{g}^{2}\,{m}^{2}+5\,a\,{b}^{2}\,{g}^{2}\,{m}^{2}+5\,{a}^{2}\,{d}^{2}\,g\,{m}^{2}-5\,a\,b\,c\,d\,g\,{m}^{2}-5\,{b}^{3}\,d\,g\,{m}^{2}-5\,a\,{c}^{3}\,g\,{m}^{2}+5\,{b}^{2}\,{c}^{2}\,g\,{m}^{2}-5\,a\,b\,{d}^{3}\,{m}^{2}+5\,a\,{c}^{2}\,{d}^{2}\,{m}^{2}+5\,{b}^{2}\,c\,{d}^{2}\,{m}^{2}-5\,b\,{c}^{3}\,d\,{m}^{2}+{c}^{5}\,{m}^{2}-5\,{a}^{3}\,b\,g\,m-5\,{a}^{3}\,c\,d\,m+5\,{a}^{2}\,{b}^{2}\,d\,m+5\,{a}^{2}\,b\,{c}^{2}\,m-5\,a\,{b}^{3}\,c\,m+{b}^{5}\,m+{a}^{5}$

$k_2=5\,d\,{g}^{3}\,{m}^{3}-10\,a\,c\,{g}^{2}\,{m}^{2}-5\,{b}^{2}\,{g}^{2}\,{m}^{2}-10\,a\,{d}^{2}\,g\,{m}^{2}+5\,b\,c\,d\,g\,{m}^{2}+5\,{c}^{3}\,g\,{m}^{2}+5\,b\,{d}^{3}\,{m}^{2}-5\,{c}^{2}\,{d}^{2}\,{m}^{2}+15\,{a}^{2}\,b\,g\,m+15\,{a}^{2}\,c\,d\,m-10\,a\,{b}^{2}\,d\,m-10\,a\,b\,{c}^{2}\,m+5\,{b}^{3}\,c\,m-5\,{a}^{4}$

$k_3=5\,c\,{g}^{2}\,{m}^{2}+5\,{d}^{2}\,g\,{m}^{2}-15\,a\,b\,g\,m-15\,a\,c\,d\,m+5\,{b}^{2}\,d\,m+5\,b\,{c}^{2}\,m+10\,{a}^{3}$

$k_4=5\,b\,g\,m+5\,c\,d\,m-10\,{a}^{2}$

$k_5=5\,a$

решение уравнения запишется как: $a+bm^{1/5}+cm^{2/5}+dm^{3/5}+gm^{4/5}$

Может кто-нибудь попытается решить это?
Понимаю, что прошу о невозможном, но может быть интересные частные
решения возникнут?

Система для 3-й и 4-й степени решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение22.11.2014, 11:25 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
AlexSam в сообщении #899216 писал(а):
можно найти все решения
Не нашёл. Везде только один корень.
Вообще, пока не осилил, но такое чувство, что используется связь многочленов с рекуррентными последовательностями. Действительно, при этом $f_n=C_1r_1^n+\cdots$ и в случае действительного максимального по модулю корня отношение $\frac{f_{n+1}}{f_n}$ стремится к нему.
Встречал метод нахождения максимального по модулю корня переходом от корней к их квадратам, четвёртым и т.д. степеням. Описывались модификации для кратного максимального по модулю, для пары максимальных по модулю сопряжённых комплексных корней и т.д. Подозреваю, примерно то же самое, только несколько быстрее. Ссылку не дам, чёл очень давно и в бумаге.

-- 22.11.2014, 19:25 --

Ах да, книга, по-моему, называлась «Вычислительные методы».

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение23.11.2014, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Это не метод Греффе-Лобачевского?
http://www.dpva.info/Guide/GuideMathema ... ximations/

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.11.2014, 02:12 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Евгений Машеров в сообщении #935043 писал(а):
метод Греффе-Лобачевского
Точно, он. Спасибо. Только (на всякий случай) там опечатка — вместо $z^{2^j}$ везде $z^{2j}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения n-ой степени. Общий метод
Сообщение24.11.2014, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
К сожалению, это частая ошибка при переносе текста в HTML. Теряются степени, и вместо $10^{19}$ вдруг появляется 1019 и т.п.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group