2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:00 


21/08/14
70
Почему многочлены Лежандра полученные из ортогонализации $\{1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots\}$ процессом Грама-Шмидта отличаются от многочленов приведёных в литературе?
Многочлены совпадают с точностью до константы, может после Грама-Шмидта нужна еще какая-то нормировка?
Например многочлены полученные процессом Грама-Шмидта, следующие:
$\\
P_0(x)=1 \\
P_1(x)=x \\
P_2(x)=x^2-\frac{1}{3} \\
P_3(x)=x^3-\frac{3}{5}x \\
$

В литературе такие:
$\\
P_0(x)=1 \\
P_1(x)=x \\
P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1) \\
P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x) \\$

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Пространство уточните. Пространство, скалярное произведение (ортогонализация же) и все как-то станет на свои места само.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ktoto в сообщении #898063 писал(а):
Многочлены совпадают с точностью до константы, может после Грама-Шмидта нужна еще какая-то нормировка?
Да. Ведь Грам-Шмидт даёт только ортогональность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:18 


21/08/14
70
Otta в сообщении #898064 писал(а):
Пространство уточните. Пространство, скалярное произведение (ортогонализация же) и все как-то станет на свои места само.

Пространство функций на интервале $ [-1, 1]$, со скалярный произведением $<f,g> = \int^{1}_{-1} f(x)g(x) dx$, естественно оба набора многочленов ортогональны в $[-1, 1]$

-- 21.08.2014, 14:20 --

nnosipov в сообщении #898065 писал(а):
ktoto в сообщении #898063 писал(а):
Многочлены совпадают с точностью до константы, может после Грама-Шмидта нужна еще какая-то нормировка?
Да. Ведь Грам-Шмидт даёт только ортогональность.

Не напомните какая требуется нормировка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну как, по норме Вашего скалярного произведения, по какой еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Нормировка (они разные бывают) может зависеть от задачи. Загляните в справочник Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Уййй, да, это я сильно неправа, конечно. Сорри.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 14:34 


21/08/14
70
Otta в сообщении #898069 писал(а):
Ну как, по норме Вашего скалярного произведения, по какой еще.

$||P_n||=\sqrt{\int\limits_{-1}^1 P_n^2(x)\,dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}$
Норма по скалярному произведению и нормировка элемента:
$\tilde P_n(x)=\frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(x)$ - нормировка литераторного случая.
Как бы да, но при такой нормировке Грам-Шмидтовских получим:
$\tilde P_2(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{2}} (3x^2 - 1)$
Поэтому вопрос и был задан на форуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 15:14 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Ну, в процессе ортогонализации получаются сногочлены со старшим коэффициентом $1$. А те, что преведены далее, удовлетворяют условию $P_n(1)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Различие в многочленах Лежандра
Сообщение21.08.2014, 15:28 


21/08/14
70
Vince Diesel в сообщении #898090 писал(а):
Ну, в процессе ортогонализации получаются сногочлены со старшим коэффициентом $1$. А те, что преведены далее, удовлетворяют условию $P_n(1)=1$.

Действительно есть такое свойство, у "родных" многочленов, Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group