2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение18.08.2014, 11:37 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Да, действительно, кривизна даёт только второй порядок производных:
$$
\widetilde R = \frac{1}{\lambda^2}
  \left[
    R
    - 2 (d-1) \Box \ln \lambda
    - (d-1) (d-2) \left( \nabla^a \ln \lambda \right) \nabla_a \ln \lambda
  \right]
$$
(поднятие индексов и связность -- по немасштабированной метрике). Надо подумать, что не так.

(Оффтоп)

Понятно. А я писал с $$, и на это выдавалась ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение18.08.2014, 11:46 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #896548 писал(а):
Как-то не очевидно, что всякое конформное уравнение может быть получено из некоторого вариационного принципа.
А зачем же нам всякое? Просто если под $\varphi$ понимать физическое поле, то логично начинать с Лагранжиана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение18.08.2014, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
SergeyGubanov в сообщении #897049 писал(а):
А зачем же нам всякое?

Да просто, если рассматривать, так сразу уж всякое. А то вдруг что-то интересное пропустим?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение18.08.2014, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Завис на оконформливании $\square h_{\left( {\mu \nu } \right)} $ и $\square ^2 \phi $. И, похоже, $\square v^\mu  $ неправильно оконформил. Надобно выспаться... А пока изложу коротко свой подход, основанный на подкупающем своей простотой методе "тупо подставляй и упрощай".

Конформное преобразование метрики $\tilde g_{\mu \nu }  = e^\Omega   g_{\mu \nu } $, где $\Omega$ - всюду ограничена, инспирирует преобразования связности $\tilde \Gamma _{\mu \nu }^\alpha   = \Gamma _{\mu \nu }^\alpha   + \Delta _{\mu \nu }^\alpha $ и кривизны $\tilde R_{\beta \mu \nu }^\alpha   = R_{\beta \mu \nu }^\alpha   + K_{\beta \mu \nu }^\alpha  $, где
$$\Delta _{\mu \nu }^\alpha   \equiv \frac{1} {2}\left( {\delta _\mu ^\alpha  \Omega _{;\nu }  + \delta _\nu ^\alpha  \Omega _{;\mu }  - g_{\mu \nu } \Omega ^{;\alpha } } \right) $$
$$K_{\beta \mu \nu }^\alpha   \equiv \Delta _{\beta \nu ;\mu }^\alpha   + \Delta _{\gamma \mu }^\alpha  \Delta _{\beta \nu }^\gamma   - \left\langle {\mu \nu } \right\rangle $$
Здесь и далее символ $\left\langle {\mu \nu } \right\rangle $ означает предыдущее выражение с переставленными индексами $\mu$ и $\nu $. Действует он только в пределах блока (в скобках, например).

Если рассмотреть некоторое поле $\phi$, преобразующееся следующим образом $\tilde \phi  = e^{\kappa \Omega } \phi $, и посмотреть на поведение его производной, то мы увидим $\tilde \phi _{;\mu }  = e^{\kappa \Omega } \left( {\phi _{;\mu }  + \kappa \phi \Omega _{;\mu } } \right)$.

Рассмотренных примеров достаточно, чтобы мотивировать следующее

Обозначение
Мы будем говорить, что
$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi $$
Если и только если $\tilde f = e^{\alpha \Omega } \left( {f + \varphi } \right)$, причём $\varphi $ содержит только производные функции $\Omega$.

Перепишем фигурировавшие выше формулы и некоторые их следствия в новых обозначениях:
$$g_{\mu \nu } \xrightarrow{1}0$$
$$g^{\mu \nu } \xrightarrow{{ - 1}}0$$
$$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha  \xrightarrow{0}\Delta _{\mu \nu }^\alpha   = \frac{1}{2}\left( {\delta _\mu ^\alpha  \Omega _{;\nu }  + \delta _\nu ^\alpha  \Omega _{;\mu }  - g_{\mu \nu } \Omega ^{;\alpha } } \right)$$
$$R_{\beta \mu \nu }^\alpha  \xrightarrow{0}K_{\beta \mu \nu }^\alpha   = \frac{1}{2}\left( {\Omega _{;\beta \mu } \delta _\nu ^\alpha   + g_{\beta \mu } \Omega ^{;\alpha } _{;\nu } } \right) + \frac{1}{4}\delta _\mu ^\alpha  \left( {\Omega _{;\beta } \Omega _{;\nu }  - g_{\beta \nu } \Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right) + \frac{1}{4}g_{\beta \nu } \Omega _{;\mu } \Omega ^{;\alpha }  - \left\langle {\mu \nu } \right\rangle $$
$$R_{\mu \nu } \xrightarrow{0}K_{\mu \nu }  \equiv \left( {1 - \frac{d}{2}} \right)\Omega _{;\mu \nu }  - \frac{1}
{2}g_{\mu \nu } \square \Omega  + \frac{{d - 2}}{4}\left( {\Omega _{;\mu } \Omega _{;\nu }  - g_{\mu \nu } \Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right)$$
$$R\xrightarrow{{ - 1}}\left( {1 - d} \right)\left( {\square \Omega  + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right), \quad  d \equiv \delta _\alpha ^\alpha$$

Как видно, новое обозначения зело избавляет от написательства излишних букв и скобок. Непосредственно из определения вытекают простые правила
$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi  \Rightarrow f'\xrightarrow{\alpha }\varphi ' + \alpha \left( {f + \varphi } \right)\Omega '$$
$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi ,g\xrightarrow{\alpha }\gamma  \Rightarrow f + g\xrightarrow{\alpha }\varphi  + \gamma
$$
$$f\xrightarrow{\alpha }\varphi ,g\xrightarrow{\beta }\gamma  \Rightarrow fg\xrightarrow{{\alpha  + \beta }}f\gamma  + \varphi g + \varphi \gamma $$

В высказывании $f\xrightarrow{\alpha }\varphi $ показатель $\alpha $ будем называть степенью (что естественно, так как это и есть степень в которую возводится множитель $e^\Omega  $), а величину $\varphi$ будем называть хвостом (что не менее естественно, так как при перемножении хвосты перепутываются). Бесхвостое выражение $f$ (то есть такое, что $f\xrightarrow{\alpha }0$ с некоторым $\alpha$) является, очевидно, конформно инвариантным. Другими словами, хочешь конформной инвариантности - руби хвосты!

Рассмотрим на примере, как это делается. Пусть дано некоторое скалярное поле с законом преобразования $\phi \xrightarrow{\kappa }0$. Тогда
$$\phi _{;\mu } \xrightarrow{\kappa }\kappa \phi \Omega _{;\mu } $$
$$\phi _{;\mu \nu }  \equiv \phi _{;\mu ,\nu }  - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha  \phi _{;\alpha } $$
$$\phi _{;\mu ,\nu } \xrightarrow{\kappa }\left( {\kappa \phi \Omega _{;\mu } } \right)_{,\nu }  + \kappa \left( {\phi _{;\mu }  + \kappa \phi \Omega _{;\mu } } \right)\Omega _{;\nu } $$
$$\Gamma _{\mu \nu }^\alpha  \phi _{;\alpha } \xrightarrow{{0 + \kappa }}\Gamma _{\mu \nu }^\alpha  \left( {\kappa \phi \Omega _{;\alpha } } \right) + \Delta _{\mu \nu }^\alpha  \left( {\phi _{;\alpha }  + \kappa \phi \Omega _{;\alpha } } \right)$$
$$\phi _{;\mu \nu } \xrightarrow{\kappa }\kappa \left( {\phi _{;\mu } \Omega _{;\nu }  + \phi _{;\nu } \Omega _{;\mu } } \right) - \Delta _{\mu \nu }^\alpha  \phi _{;\alpha }  + \kappa \phi \left( {\Omega _{;\mu \nu }  - \Delta _{\mu \nu }^\alpha  \Omega _{;\alpha }  + \kappa \Omega _{;\mu } \Omega _{;\nu } } \right)$$
$$\square \phi \xrightarrow{{\kappa  - 1}}\left\{ {2\kappa  - 1 + \frac{d}{2}} \right\}\phi _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha }  + \kappa \phi \left( {\square \Omega  + \left\{ {\kappa  - 1 + \frac{d}{2}} \right\}\Omega _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha } } \right)$$
Заметим теперь, что
$$R\phi \xrightarrow{{k - 1}}\left( {1 - d} \right)\phi \left( {\square \Omega  + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right)$$
Степени у этих выражений одинаковы, а это значит что их можно линейно комбинировать. Так что имеем
$$\left( {\square  + \xi R} \right)\phi \xrightarrow{{k - 1}}\left\{ {2\kappa  - 1 + \frac{d}{2}} \right\}\phi _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha }  + \phi \left[ {\left\{ {\kappa  + \xi \left( {1 - d} \right)} \right\}\square \Omega  + \left\{ {\kappa \left( {\kappa  - 1 + \frac{d}{2}} \right) + \xi \left( {1 - d} \right)} \right\}\Omega _{;\alpha } \Omega ^{;\alpha } } \right]$$
Приравнивая нулю фигурные скобки, находим единственное решение
$$\kappa  =  - \frac{d-2}{4}, \quad \xi  =  - \frac{1}{4}\frac{{d - 2}}{{d - 1}}$$
Или, другими словами, $\left( {\square  - \frac{1}{4}\frac{{d - 2}}{{d - 1}}R} \right)\phi \xrightarrow{{ - \frac{{d + 2}}{4}}}0$ при $\phi \xrightarrow{{ - \frac{{d - 2}}{4}}}0$ и $g_{\mu \nu } \xrightarrow{1}0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение19.08.2014, 12:04 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #897187 писал(а):
Конформное преобразование метрики $\tilde g_{\mu \nu }  = e^\Omega   g_{\mu \nu } $, где $\Omega$ - всюду ограничена, инспирирует преобразования

...

$$R\xrightarrow{{ - 1}}\left( {1 - d} \right)\left( {\square \Omega  + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } } \right), \quad  d \equiv \delta _\alpha ^\alpha$$

Значит если дилатонное поле $\Omega$ обуздать уравнением:
$${\square \Omega  + \frac{{d - 2}}{4}\Omega _{;\gamma } \Omega ^{;\gamma } }  = 0$$
которое, кстати, доставляет экстремум (по $\Omega$) дилатонному действию:
$$S_{\Omega} = \frac{1}{2} \int g^{\mu \nu} \; \partial_{\mu} \Omega \; \partial_{\nu} \Omega \; \exp\left(\frac{d-2}{2}\Omega\right) (\ldots) \sqrt{-g} \; d_d x$$
то скалярная кривизна $R$ относительно таким образом обузданной дилатации станет бесхвостной, поэтому из неё можно будет построить лагранжиан а-ля Гильберта. Что при $d=4$ позволяет всего из двух полей: метрики $g_{\mu \nu}$ и дилатона $\Omega$ построить конформно-инвариантное относительно обузданного $\Omega$ действие в каком-то смысле обобщающее действие Гильберта:

$$S = \frac{1}{2} \int g^{\mu \nu} \; \partial_{\mu} \Omega \; \partial_{\nu} \Omega \; \exp\left(\Omega\right) \; R \; \sqrt{-g} \; d_4 x$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение19.08.2014, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
SergeyGubanov в сообщении #897344 писал(а):
скалярная кривизна $R$ относительно таким образом обузданной дилатации станет бесхвостной, поэтому из неё можно будет построить лагранжиан а-ля Гильберта.

А как связана конформная инвариантность с возможностью применения вариационного принципа?

P.S. И вообще, вопрос ко всем и пошире. Чем так замечательны эти конформно инвариантные уравнения? Раньше я, бывало, прохожу мимо конформно инвариантного уравнения и думаю - о, конформно инвариантное уравнение! Углы, значицца, сохраняюцца! И дальше пошёл... Сейчас вот вижу, что изрядное опустошение они производят посреди всех мыслимых ковариантных. Прямо как правила отбора. Понять бы только - отбора чего :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение19.08.2014, 21:39 
Аватара пользователя


04/12/10
115
Утундрий, спасибо за подробный ответ! Обозначения понравились :) Я сейчас в своих изысканиях немного вбок отошёл, но через какое-то конечное время (порядка недели) вернусь в этому вопросу и, думаю, предъявлю (предположительно) правильное уравнение четвёртого порядка (по-крайней мере, без очевидных ляпов, типа несовпадения числа производных масштабного фактора).

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #897187 писал(а):
Надобно выспаться...

Кстати, да :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение19.08.2014, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

vanger в сообщении #897532 писал(а):
через какое-то конечное время (порядка недели) вернусь в этому вопросу и, думаю, предъявлю (предположительно) правильное уравнение четвёртого порядка

Берусь предъявить раньше :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение20.08.2014, 11:29 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #897529 писал(а):
А как связана конформная инвариантность с возможностью применения вариационного принципа?
Я на другом акцентирую. Ежели в консерватории ничего не менять, то когда есть физические поля, тогда есть и Лагранжиан. И наоборот, если уравнения движения "полей" не вариационные, то непонятно откуда почерпнуть уверенность в том, что это вообще имеет отношение к физике.

Утундрий в сообщении #897529 писал(а):
Чем так замечательны эти конформно инвариантные уравнения?
Думается, что после того как Белавин, Поляков, Замолодчиков порешили двумерную конформно инвариантную квантовую теорию поля (BPZ, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory), конформно инвариантная тема дисертационно-защитибельна, обросла пенсионерами и стала достопримечательностью для туристов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение20.08.2014, 13:31 
Аватара пользователя


04/12/10
115

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #897580 писал(а):
Берусь предъявить раньше :D

Буду только рад! :)


Утундрий в сообщении #897529 писал(а):
И вообще, вопрос ко всем и пошире. Чем так замечательны эти конформно инвариантные уравнения?

Кстати, да, с удовольствием бы тоже послушал. Т.к. сам, кроме общих слов про дуальности, струны и решаемость двумерных теорий, ввиду бесконечномерности симметрии, ничего сказать не могу. Возможно, type2b что-нибудь интересное мог бы сказать, или указать на обзоры (с таким-то ником :)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ковариантные конформно инвариантные уравнения для скаляра
Сообщение21.08.2014, 09:35 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
Утундрий

(Оффтоп)

Эко Вас в этом месяце прорвало :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group