Кардинальные задачи

[Foxer]

Что-то сидел я на днях и надумал несколько задач, по идее, уровня - не выше первого курса матанализа. Некоторые из них решились быстро, некоторые как-то туго пошли.

1. Началось все вот с этой. Рассмотрим непрерывные функции на числовой прямой (или на $(0, 1)$, кому что больше нравится). Вопрос, каких функций "больше": а) ограниченных, б) неограниченных. Ну что, пфф, я что, кардиналы искать не умею? Ясно дело, что одних и других функций по крайней мере континуум. Тоже понятно, что непрерывных функций уж точно не больше, чем всех, а всех - гиперконтинуум. Тогда для начала нужно разрешить другой вопрос.

2. Сколько всего непрерывных на прямой функций? Кажется, что континуум - маловато будет. Одних констант континуум, а класс непрерывных функций побогаче будет. Ладно, это тоже решать не умею. Попробуем задачку полегче.

3. Сколько существует функций, которые принимают конечное число значений. Ура, хоть какую-то задачу я решил! Понятно, что их гиперконтинуум, ибо можно установить биекцию, между функциями, которые принимают $2$ значения и подмножествами числовой прямой (просто характеристические функции).

4. Так, ну характеристических функций много. Вот тогда такой вопрос: а какова мощность измеримых по Лебегу множеств числовой прямой. И в этом случае я как-то жутко туплю.

5. Упростим донельзя. Какова мощность Борелевской $\sigma$-алегбры? Кстати я помню, что борелевская $\sigma$-алегбра и измеримые множества - штуки немного разные, вот только пример измеримого множества не из борелевской $\sigma$-алегбры я забыл.

Ну и вопрос на последок: какую нормальную норму для непрерывных на прямой функций можно ввести? Инфимум разности модуля меня уж очень смущает.

[ИСН]

Много букв. Непрерывных функций континуум, потому что они задаются своими значениями в рациональных точках, например.

[Foxer]

ИСН, точно-точно! Остались вопросы 4 и 5.

[Xaositect]

Foxer в сообщении #897764 писал(а):

2. Сколько всего непрерывных на прямой функций? Кажется, что континуум - маловато будет. Одних констант континуум, а класс непрерывных функций побогаче будет.

Это классика. Непрерывная функция однозначно задается значениями в рациональных точках.

Foxer в сообщении #897764 писал(а):

4. Так, ну характеристических функций много. Вот тогда такой вопрос: а какова мощность измеримых по Лебегу множеств числовой прямой. И в этом случае я как-то жутко туплю.

Тут все тоже достаточно просто. Посмотрите на множество Кантора или какое-нибудь другое множество меры 0 и мощности континуума.

Foxer в сообщении #897764 писал(а):

5. Упростим донельзя. Какова мощность Борелевской $\sigma$-алегбры? Кстати я помню, что борелевская $\sigma$-алегбра и измеримые множества - штуки немного разные, вот только пример измеримого множества не из борелевской $\sigma$-алегбры я забыл.

А вот тут все хуже, потому что тут вроде бы нужно представление борелевской $\sigma$-алгебры как трансфинитной иерархии, индексированной счетными ординалами, в которой следующий этаж получается из предыдущего пересечениями и объединениями. Трансфинитной индукцией можно показать, что любой этаж этой иерархии будет иметь мощность континуума. Не знаю, есть ли более простое доказательство, но точно потребуется аксиома выбора, потому что без нее все множества могут быть борелевскими.

[Foxer]

Xaositect в сообщении #897773 писал(а):

Тут все тоже достаточно просто. Посмотрите на множество Кантора или какое-нибудь другое множество меры 0 и мощности континуума.

Да, и тут я как-то тупанул. Берем множество Кантора - оно нулевой меры. Далее рассматриваем множество его подмножеств, они также нулевой меры и их гиперконтинуум.

Xaositect в сообщении #897773 писал(а):

Трансфинитной индукцией можно показать, что любой этаж этой иерархии будет иметь мощность континуума.

Напишите поподробней.
Ну из соображения мощностей будет ясно, что множество, которое измеримо, но не борелевское есть. А какой-нибудь пример руками приводится?

[Oleg Zubelevich]

Foxer в сообщении #897764 писал(а):

у и вопрос на последок: какую нормальную норму для непрерывных на прямой функций можно ввести?

смотря, что понимать под нормальностью. Один из стандартных способов топологизировать это пространство это ввести семейство полунорм

$$\|f\|_n=\max_{x\in[-n,n]}|f(x)|,\quad n\in\mathbb{N}$$

эти полунормы определяют локально выпуклую топологию компактной сходимости. Эта топология метризуема , но ненормируема. Пространство получается полным.

[Xaositect]

Foxer в сообщении #897782 писал(а):

Напишите поподробней.
Ну из соображения мощностей будет ясно, что множество, которое измеримо, но не борелевское есть. А какой-нибудь пример руками приводится?

http://math.stackexchange.com/questions ... ma-algebra
http://mathoverflow.net/questions/32720 ... -of-choice

[Foxer]

Oleg Zubelevich в сообщении #897787 писал(а):

смотря, что понимать под нормальностью. Один из стандартных способов топологизировать это пространство это ввести семейство полунорм

$$\|f\|_n=\max_{x\in[-n,n]}|f(x)|,\quad n\in\mathbb{N}$$

эти полунормы определяют локально выпуклую топологию компактной сходимости. Эта топология метризуема , но ненормируема. Пространство получается полным.

Да, все ж нормальные люди так делают. Я вот отучился 2 курса функана, дважды сдал экзамен Богачеву (да-да, тому самому, который книжку написал), а в итоге туплю так... Ай-ай-ай я.

Xaositect в сообщении #897798 писал(а):

http://math.stackexchange.com/questions ... ma-algebra http://mathoverflow.net/questions/32720 ... -of-choice

Круто, спасибо!