2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятность скачка случайного процесса на малом интервале
Сообщение05.08.2014, 11:41 


12/10/12
134
Здравствуйте, у меня такой вопрос:
Описание пуассоновского процесса начинается с введения двух постулатов (из учебника Карлина "Теория случайных процессов"):
1. Вероятность того, что за период времени продолжительности $h$ произойдет по меньшей мере одно событие , есть:
$p(h)=\lambda \at h+o(h)$, $h \to 0$, $\lambda>0$
2. Вероятность того, что за время $h$ произойдет два или более события, есть $o(h)$.

Откуда следует, что:
$P(\pi_{t+h}-\pi_{t}=1)=\lambda \at h$ при $h \to 0$

Пусть случайный процесс допускает представление в виде:
$X_t=X_0+\int_{0}^{t}{a(s,X_s)ds}+m_t$
где $a(s,X_s)$ - непрерывная функция и ограниченная функция на конечном интервале, $m_t$ - мартингал; $X_0$ - действительное число.

Верно ли следующее?
$P(X_{t+h}-X_{t}=1)=\int_{t}^{t+h}a(s,X_s)ds+o(h)$, при $h \to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность скачка случайного процесса на малом интервале
Сообщение05.08.2014, 13:10 


12/10/12
134
Может быть посоветуете литературу, где доступным языком про это можно посмотреть.
Или скажите ошибки в записи, на случай если я что-то не правильно определил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность скачка случайного процесса на малом интервале
Сообщение16.08.2014, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Как связаны $X_t$ и упомянутsй выше пуассоновский процесс?

R_e_n в сообщении #893406 писал(а):


Верно ли следующее?
$P(X_{t+h}-X_{t}=1)=\int_{t}^{t+h}a(s,X_s)ds+o(h)$, при $h \to 0$.

Как это возможно, если слева число (точнее детерминированая функция), а справа случайная величина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность скачка случайного процесса на малом интервале
Сообщение20.08.2014, 13:37 


12/10/12
134
Спасибо, что откликнулись. Попробую объяснить как я до такого докатился.

Henrylee в сообщении #896675 писал(а):
Как связаны $X_t$ и упомянутsй выше пуассоновский процесс?

Вероятность скачка на малом интервале h для пуассоновского процесса равна: $\lambda \at h$ (в учебнике, например, Карлина вводится аксиоматически).
В то же время пуассоновский процесс допускает представление в виде:
$\pi_{t}=\int_{0}^{t} \lambda ds + m_{t}$
(для однородного пуассоновского процесса можно посмотреть здесь в учебнике Липцера, Ширяева Теория мартингалов http://bookre.org/reader?file=560699&pg=38 пример 1). (Для неоднородного я вроде бы тоже, где похожее видел, сейчас уже не помню где. Если что могу поискать).

Тогда у меня возникло два предположения:
для любого скачкообразного процесса допускающего представление в виде непрерывной части и мартингала верно:
либо вероятность скачка на интервале [t,t+h] равна интегралу по этому интервалу (что я и написал)
либо вероятность скачка на интервале [t,t+h] равна подынтегральной функции в начальный момент времени умноженной на длину интервала.
(если эту вероятность поделить на h и взять предел, то способы совпадут).

Henrylee в сообщении #896675 писал(а):
Верно ли следующее?
$P(X_{t+h}-X_{t}=1)=\int_{t}^{t+h}a(s,X_s)ds+o(h)$, при $h \to 0$.
Как это возможно, если слева число (точнее детерминированая функция), а справа случайная величина?

Да, тут надо писать вероятность скачка при условии известных значений в предыдущие моменты времени. Вроде бы это можно назвать при условии сигма-алгебры. Но в этом я не уверен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group