Теория сравнений

[maximk]

Как обстоит вопрос с открытыми проблемами раздела теории чисел теории сравнений? Где можно найти информацию по данной тематике?
Спасибо.

[mihailm]

Теория сравнений это что-то вроде языка, а какие там могут быть проблемы? заикание, разве что

[ex-math]

Проблемы могут быть поставлены в терминах сравнений. Например, гипотеза Курепы, непонятно, доказанная или нет. Но лучше не начинать с поиска открытой проблемы, а изучать учебную литературу, потом научную, ходить на семинары, и открытые проблемы сами придут к вам.

[maximk]

Спасибо за информацию. Знать бы еще, на какие семинары ходить. В моем университете никто даже не занимается теорией чисел, обратиться не к кому. Только если следить за нынешними конференциями в других городах.
Не могли бы вы посоветовать необходимый минимум литературы по теории чисел (желательно без аналитических методов, если в этом нет необходимости) такой, чтобы при поступлении в магистратуру в вуз уровня МГУ можно было понимать "о чем речь" на семинарах по открытым проблемам в области элементарной теории чисел. Обязательно ли для этого быть алгебраистом?

[ex-math]

Что Вы понимаете под элементарной теорией чисел? Рассуждениями с делимостью кроме некоторых олимпиадных задач ничего не решить. Открытые проблемы могут элементарно формулироваться, но для их решения приходится привлекать мощные аналитические либо алгебраические методы.

[maximk]

ex-math в сообщении #896444 писал(а):

Что Вы понимаете под элементарной теорией чисел? Рассуждениями с делимостью кроме некоторых олимпиадных задач ничего не решить. Открытые проблемы могут элементарно формулироваться, но для их решения приходится привлекать мощные аналитические либо алгебраические методы.

Ясненько. Но откудого это следует, что невозможно найти "элементарное" доказательство той или иной задачи вне зависимости от ее сложности? Этому утверждению существует строгое доказательство, или это лишь предположение некоторых профессионалов?

[Sonic86]

maximk в сообщении #896464 писал(а):

Но откудого это следует, что невозможно найти "элементарное" доказательство той или иной задачи вне зависимости от ее сложности? Этому утверждению существует строгое доказательство, или это лишь предположение некоторых профессионалов?

Это внематематическое утверждение, полученное опытным путем.

[maximk]

Sonic86 в сообщении #896476 писал(а):

maximk в сообщении #896464 писал(а):

Но откудого это следует, что невозможно найти "элементарное" доказательство той или иной задачи вне зависимости от ее сложности? Этому утверждению существует строгое доказательство, или это лишь предположение некоторых профессионалов?

Это внематематическое утверждение, полученное опытным путем.

А это значит, что все же возможно получить элементарное доказательство определенной задачи. Это ведь зависит от решающего. Хотя конечно вероятно такое решение отыскать сложнее. Кстати, видал здесь некоторых решаталей сложных задач элементарными методами, занимающими множество страниц темы, на этой форуме.

[Sonic86]

maximk в сообщении #896482 писал(а):

А это значит, что все же возможно получить элементарное доказательство определенной задачи.

Нет, не значит.

[maximk]

Sonic86 в сообщении #896476 писал(а):

maximk в сообщении #896464 писал(а):

Но откудого это следует, что невозможно найти "элементарное" доказательство той или иной задачи вне зависимости от ее сложности? Этому утверждению существует строгое доказательство, или это лишь предположение некоторых профессионалов?

Это внематематическое утверждение, полученное опытным путем.

Чьим опытным путем? В книге Хинчина "3 жемчужины теории чисел" вы можете найти пример решений сложных задач элементарными методами.

[Sonic86]

maximk в сообщении #896656 писал(а):

Чьим опытным путем?

Математиков, естественно. Просто люди брали разные задачи и пытались решать. Иногда у них получалось, иногда - нет. Чаще - нет.

maximk в сообщении #896656 писал(а):

В книге Хинчина "3 жемчужины теории чисел" вы можете найти пример решений сложных задач элементарными методами.

Угу, в книге Хинчина "3 жемчужины теории чисел" я могу найти примеры решений некоторых сложных задач элементарными методами.

Елки-палки, просто погуглите что-нибудь типа "нерешенные проблемы теории чисел", посмотрите на их возраст: ВТФ, гипотеза Гольдбаха, гипотеза близнецов, гипотеза Лежандра, элементарно формулируемые следствия из гипотезы Римана о росте $\pi(x)$ и кучу еще всего. Посмотрите на доказательства ВТФ, теоремы Дирихле о простых в прогрессиях, теоремы о распределении простых.

Очевидно только то, что есть много элементарно формулируемых задач, но среди них есть лишь малая часть задач, решенных элементарно. Все остальное - неочевидно. С чего вдруг для любой (квантор $\forall$) элементарно формулируемой задачи есть элементарное решение? Это ведь довольно сильное утверждение, проще поверить в противоположное. Опять же, напомню, что понятие "элементарный метод" не определено. И далее, может оказаться так, что неэлементарное доказательство с помощью матлогики эквивалентно преобразуемо в элементарное, но при этом смысл доказательства становится совершенно неясным. Что тогда Вы назовете элементарным доказательством/решением, а что - неэлементарным? Ведь в таком случае утрачивается смысл вопроса даже в его естественной формулировке.

[maximk]

Sonic86 в сообщении #896751 писал(а):

maximk в сообщении #896656 писал(а):

Чьим опытным путем?

Математиков, естественно. Просто люди брали разные задачи и пытались решать. Иногда у них получалось, иногда - нет. Чаще - нет.

А может просто психологический фактор. Какая необходимость отыскивать элементарное доказательство, если долгое время не получается, и проще отыскать неэлементарное?

Цитата:

Опять же, напомню, что понятие "элементарный метод" не определено. И далее, может оказаться так, что неэлементарное доказательство с помощью матлогики эквивалентно преобразуемо в элементарное, но при этом смысл доказательства становится совершенно неясным. Что тогда Вы назовете элементарным доказательством/решением, а что - неэлементарным? Ведь в таком случае утрачивается смысл вопроса даже в его естественной формулировке.

Предполагаю аналитический (рассматроим хотя бы узкий случай) метод элементарным, если в нем не используется ТФКП (понятно, что очень "расплывчатое" определение, нужно искать способы формализации и т.д.)
А если вдруг удастся доказать логически, что любое неэлементарное доказательство преобразуемо в элементарное так, что при этом смысл доказательства не становится неясным?
Что если вдруг найдется алгоритм, который хотя бы "в общих чертах" указывает на то, как преобразовывать доказательства, упрощать их. Математика не стоит на месте, и есть основания предполагать, что когда-нибудь проблема с элементарностью-неэлементарностью доказательств будет решена. Вопрос в том, кто первый возьмется за это. Всегда был человек, который первым открывал что-либо, что служило основанием дальшейших исследований в этой области.
Вам проще поверить "в противоположное", но это не отрицает того факта, что существует(ют)/будет(ут) существовать математик(и)/нематематик(и), который(ые) решит(ат) этот вопрос рано или поздно.

Sonic86 в сообщении #896751 писал(а):

Елки-палки, просто погуглите что-нибудь типа "нерешенные проблемы теории чисел", посмотрите на их возраст: ВТФ, гипотеза Гольдбаха, гипотеза близнецов, гипотеза Лежандра, элементарно формулируемые следствия из гипотезы Римана о росте $\pi(x)$ и кучу еще всего. Посмотрите на доказательства ВТФ, теоремы Дирихле о простых в прогрессиях, теоремы о распределении простых.

Очевидно только то, что есть много элементарно формулируемых задач, но среди них есть лишь малая часть задач, решенных элементарно.

Допустим, есть проблема $n$. При условии, что вы с интересом занимаетесь ее всю жизнь, и наконец решили ее неэлементарными методами. Есть вероятность, что за $m$ лет решающий сможет либо найти элементарное доказательство этой проблемы, либо доказать, что такого доказательства не существует $\forall n$ ? И тогда возможно это станет первым шагом в данном направлении.

[ex-math]

Ну вот Сельберг получил элементарное доказательство асимптотического закона. Ему дали за это медаль Филдса. Это послужило отправной точкой целого ряда исследований. Но доказательство абсолютно непрозрачно, особенно в сравнении с неэлементарным. И найти его было сложнее, как показала практика. Это я к чему? К тому, что проще выучить ТФКП, чем создавать себе искусственные затруднения.

[Sonic86]

maximk в сообщении #897701 писал(а):

А может просто психологический фактор. Какая необходимость отыскивать элементарное доказательство, если долгое время не получается, и проще отыскать неэлементарное?

Да ну.

maximk в сообщении #897701 писал(а):

А если вдруг удастся доказать логически, что любое неэлементарное доказательство преобразуемо в элементарное так, что при этом смысл доказательства не становится неясным?

Ну это вообще какая-то фантастика. Смысл - мозгозаточенная штука. Вводить описание мозга в математику как-то совсем нематематично.

В общем, смысл Вы поняли: утверждать, что любое доказуемое утверждение элементарно доказуемо - неочевидно.

maximk в сообщении #897701 писал(а):

Математика не стоит на месте, и есть основания предполагать, что когда-нибудь проблема с элементарностью-неэлементарностью доказательств будет решена.

Ну м.б.. Чтобы увидеть, на что оно будет похоже, надо смотреть что-нибудь про выразимость и разрешимость теорий. Можете посмотреть на формальное доказательство теоремы Пифагора - это тоже будет такой косвенный образ того, что Вы ищете.

maximk в сообщении #897701 писал(а):

того факта, что существует(ют)/будет(ут) существовать математик(и)/нематематик(и), который(ые) решит(ат) этот вопрос рано или поздно.

С каких деревьев Вы взяли, что это факт? Откуда факт?
Вот есть ВТФ, она доказана неэлементарно, а элементарного доказательства нет.
Все, нету факта. Голое вранье.

Т.е. фантазировать можно. Лучше попробовать что-то попытаться в этом направлении сделать.
Но в уме сразу держим алгоритмическую неразрешимость уравнений, например. Еще в Ершове-Палютине что-то было про неразрешимость теории $\langle\mathbb{N},\mid\rangle$

[Nemiroff]

Sonic86 в сообщении #897939 писал(а):

Можете посмотреть на формальное доказательство теоремы Пифагора

Покажите.