2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Степень двойки
Сообщение02.03.2014, 17:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Еще одна задача:
Let p be a prime number greater than 10. Prove that there exist distinct positive integers $a_1, a_2,\cdots, a_n$ such that $n \le\frac{p+1}{4}$ and

$\frac{(p-a_1)(p-a_2)\cdots(p-a_n)}{a_1a_2\cdots a_n}$

is a positive integral power of 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степень двойки
Сообщение04.08.2014, 12:10 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если $q$ нечетное число $<p$, то $p-q=2^kb$, где $ b$- нечетное,$k\geqslant 1$. Очевидно $b\leqslant \dfrac {p-1}{2}$.
Число нечетных чисел $\leqslant \dfrac {p-1}2$ не превышает $n_0=\dfrac {p+1}4$.
Образуем последовательность нечетных натуральных чисел $b_i$ по правилу: $b_1=1, p-b_i=2^{k_i}b_{i+1}(i>1)$.
Все $b_i\leqslant \dfrac {p-1}2$, поэтому не позже номера $i=n_0+1$ числа в последовательности начнут повторяться.
Если, скажем, первые два одинаковых числа, появившиеся в последовательности $b_m=b_l,n_0+1\geqslant m>l\geqslant 1$, то можно положить $a_1=b_l, a_2=b_{l+1},\dots ,a_n=b_{m-1}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group