2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 18:53 


28/06/13
48
Подскажите, корни многочлена (степени выше двух) с действительными коэффициентами меняются непрерывно при непрерывном изменении коэффициентов? Если можно, киньте ссылку на соответствующую литературу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Корни не являются функцией, поэтому говорить о их непрерывности не совсем корректно. Вполне можно представить график многочлена, двигаемый вверх-вниз, когда корни внезапно исчезают в одном месте и появляются в другом. Но если рассматривать всё это дело в комплексном пространстве или даже в вещественном, осторожно определив понятие корня с его кратностью и аккуратно определяя обратные функции на различных участках, или рассматривать пересечения бесконечно гладкой кривой, представляющей многочлен, и прямой, то можно говорить не только о непрерывности, но и о гладкости.
Я бы сказал, что корни гладко зависят от коэффийиентов почти всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
gris
Автор скорей всего имел ввиду функцию, которая набору коэффициентов $(a_1,...,a_n)$ сопоставляет набор корней соответствующего многочлена. При этом предполагается, что все корни - вещественные, попарно различные. Утверждается, что эта функция будет гладкой в окрестности $(a_1,...,a_n)$.

Это действительно так - с помощью теоремы Виета легко построить обратное отображение(обратное для исходной функции) и посмотреть его определитель Якоби(он вроде как будет определителем Вандермонда). Поэтому отображение обратимо и сохраняет гладкость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 20:07 


28/06/13
48
demolishka
О предположениях что корни вещественные и попарно различные я не писал.

Можно поподробнее: как по якобиану понять, что имеется непрерывность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
the_jack
Гладкое отображение $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ обратимо в окрестности точки, в которой определитель Якоби не нулевой. При этом гладкость сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Для одиночного корня можно выделить интервал монотонности многочлена и применить теорему об обратной функции.
А вот что делать с многочленом $x(x^2-1)^2+a$ в окрестности $a=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение02.08.2014, 20:22 


28/06/13
48
demolishka
Спасибо, это интересно

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение03.08.2014, 06:48 


28/06/13
48
demolishka
Если несложно, объясните, почему определитель Якоби будет определителем Вандермонда? Даже для случая третьей степени с матрицей

$
-1^{(p)}
\begin{pmatrix} 
x_2 \cdot x_3 & x_1 \cdot x_3 & x_1 \cdot x_2 \\
x_2 + x_3 &  x_1 + x_3 & x_1 + x_2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$

не очень получается понять не посчитав в лоб оба определителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность корней многочлена от коэффициетов
Сообщение03.08.2014, 07:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну тут, например, можно вычесть третий столбец из первых двух. Для общего случая видимо должны работать похожие соображения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group