Несобственный интеграл.

[Otta]

main.c в сообщении #891876 писал(а):

$ x^p (-\ln x)^q \sim (1-x)^q, \quad x \to 1-$

Я не понимаю, зачем при таком мощном результате еще что-то интегрировать. Вы вчерашние уроки уже запамятовали? ))
Но да, расходится. Вы для всех $q$ вывод сразу делайте, что мелочиться.

[main.c]

Otta в сообщении #891878 писал(а):

main.c в сообщении #891876 писал(а):

$ x^p (-\ln x)^q \sim (1-x)^q, \quad x \to 1-$

Я не понимаю, зачем при таком мощном результате еще что-то интегрировать. Вы вчерашние уроки уже запамятовали? ))
Но да, расходится. Вы для всех $q$ вывод сразу делайте, что мелочиться.

А как быть с $p$. Вообще логарифм не играет роли, при стремлении подынтегральной функции к нулю, причём без разницы в какой он степени. Но, во-первых, я не знаю, как это строго обосновать. А, во-вторых, у меня не получается воспользоваться этим фактом. Совсем голова отказываетя думать

[Otta]

Предел подынтегральной функции считать пробовали при $x\to 0$?

[main.c]

Otta в сообщении #891984 писал(а):

Предел подынтегральной функции считать пробовали при $x\to 0$?

Да, пробовал.
$\lim\limits_{x \to 0} x^p(-\ln x)^q = 0$, при $p > 0$
$\lim\limits_{x \to 0} x^p(-\ln x)^q = +\infty$, при $p \leq 0$

[Otta]

Ну вот и хорошо. Только не верю я, что $q$ на значение предела никогда не влияет. (Верю.) А вот теперь делаем выводы, когда ноль особая точка, когда нет. И исследуем нужный случай на сходимость.

[main.c]

$I = \int\limits_0^{+\infty} \frac{x^p \sin x}{1+x^q}, \ q \geq 0$, исследовать на абсолютную и условную сходимость.
$I = \int\limits_0^{c} \frac{x^p \sin x}{1+x^q} + \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{x^p \sin x}{1+x^q}, \ c > 0$
При $q = 0: \frac{x^p \sin x}{1+x^q} = \frac{x^p \sin x}{2}$
При $q > 0: \frac{x^p \sin x}{1+x^q} = {x^p \sin x}$
Будем рассматривать только 1 случай, так как постоянный множитель у подынтегральной функции на сходимость не влияет.
$x^p \sin x = x^{-1 + \delta} \sin x, \ p = -1 + \delta$
$x^{-1 + \delta} \sin x \sim x^\delta, \ x \to 0$
Несобственный интеграл от $x^\delta$ на заданном промежутке сходится только при $\delta > -1$, а значит искомый интеграл сходится только при $ p > -2$. Причём сходится абсолютно.
А вот со вторым интегралом немного неясно.
При $q = 0$:
$\left|\frac{x^p \sin x}{1+x^q}\right| \sim \frac{|x^p \sin x|}{2}, \ x \to +\infty$
$0 \leq \frac{|x^p \sin x|}{2} \leq \frac{|x^p|}{2}$
Значит искомый интеграл сходится при $p > -1$, но это ещё ничего не говорит о поведении при $ -2 < p \leq -1$. Очевидно, что он расходится, так как функция постоянно будет достигать значения $\frac{|x^p|}{2}$, но как бы так это грамотно доказать?

[Otta]

main.c
1) Нет никакого смысла рассматривать случай $q=0$ отдельно.
2) Обозначать $p$ иначе тоже особо незачем.
3)

main.c в сообщении #892339 писал(а):

Значит искомый интеграл сходится при $p > -1$, но это ещё ничего не говорит о поведении при $ -2 < p \leq -1$. Очевидно, что он расходится, так как функция постоянно будет достигать значения

Неочевидно, поскольку Вы смотрите функцию по модулю. Посмотрите сперва обычную сходимость, не абсолютную.

[ИСН]

2) После $q=0$ Вы будете рассматривать $q=0.1$, $q=0.2$, и так далее до перебора всех действительных чисел?
1) Чтобы интеграл лучше сходился, $p$ надо тянуть в другую сторону.

[main.c]

ИСН в сообщении #892343 писал(а):

2) После $q=0$ Вы будете рассматривать $q=0.1$, $q=0.2$, и так далее до перебора всех действительных чисел?

Я рассматриваю только 2 случая, $q =0$ и $q > 0$, но Вы правы, можно ограничиться 1.

ИСН в сообщении #892343 писал(а):

1) Чтобы интеграл лучше сходился, $p$ надо тянуть в другую сторону.

Да, тогда выходит, что он сходится при $ -2 < p$ и $p-q < -1$ остаётся понять случай $p - q > -1$