2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение30.07.2014, 15:04 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Я не очень уверен, что там все "как надо" получится. Все таки замена логарифма на дробь может оказаться грубой. А учет следующих поправок не позволяет вычислить явную сумму. Но это только мне так кажется, утверждать наверняка не могу.
А вот в том представлении, что я написал, уже сравнительно легко получается поточечный предел равный $1-x$. Кроме этого можно приблизительно оценить где достигается максимум $F_n(x)$ и чему примерно равен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение31.07.2014, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
sup
У меня упорно выходит $\frac12 (1-x) $. Это от первого члена в разложении логарифма, прочие дают нулевой вклад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение31.07.2014, 16:12 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Я исходил из следующих "правдоподобных" рассуждений.
Все самое интересное происходит при $z << 1$.
А посему
$-\ln (1-z) \approx z$
$(1-z)^{nx} \approx (1-xz)^n$
$(1-z)^{x - 1} \approx e^{z(1-x)}$
Отсюда
$F_n(x) \approx nx\int \limits_0^1 \frac {e^{z(1-x)}-1}{z} (1-xz)^ndz $
$F_n(x) \approx (1-x)n\int \limits_0^1  x(1-xz)^ndz = \frac {n}{n+1}(1-x)(1 - (1-x)^{n+1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение31.07.2014, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Я делал так :
$$nx\int_0^1\left((1-z)^{nx+x-1}-(1-xz)^n\right)\frac{dz}z=nx\int_0^{nx}\left(\left(1-\frac t{nx}\right)^{nx+x-1}-\left(1-\frac tn\right)^n\right)\frac{dt}t.$$
$$\left(1-\frac tn\right)^n=e^{-t}\left(1-\frac{t^2}{2n}+O\left(\frac{t^k}{n^{2}}\right)\right). $$
$$\left(1-\frac t{nx}\right)^{nx+x-1}=e^{-t}\left(1-\frac{x-1}{nx}t-\frac{t^2}{2nx}+O\left(\frac{t^k}{n^2}\right)\right). $$
Подставляем и пользуемся тем, что при $m=1,2$
$$\int_0^{nx}t^me^{-t}dt=1+o(1)$$.
Это и дает нам $\frac12(1-x) $. Следующий член разложения логарифма дает такой же интеграл, но без $z$ в знаменателе. Он вычисляется точно и стремится к нулю. Наконец, остаток дает интеграл с $z$ в числителе. После такой же замены перед ним уже возникает коэффициент $\frac1n$, так что достаточно оценить скобки как $O(t^ke^{-t}) $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение31.07.2014, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Что мне здесь не очень нравится, так это то, что приходится приближать экспоненту при больших $t$, так что постоянные в знаках $O$ тоже могут зависеть от $n$, и не лучшим образом. Но как получше с этими гадкими скобками поступить, не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 08:18 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, ситуация странная. Через Г-функцию вроде бы тоже вылезла 1/2. Ну что же. Раз уж "на пальцах" не получается, надо разбираться более строго. Прямо сейчас я уже ни в чем не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 09:49 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, в конечном итоге получается именно $\frac {1}{2}(1-x)$
Неточность в моих рассуждениях пряталась в приближенном равенстве
$(1-z)^{nx + x - 1} \approx e^{z(1-x)}(1-xz)^n$
На самом деле надо учитывать и квадратичные члены
$(1-z)^{nx + x - 1} \approx e^{z(1-x) -z^2nx(1-x)/2}(1-xz)^n$
Отмечу, что искомый интеграл можно вычислить явно с помощью В-функции Эйлера. Там, разумеется, тоже появляется 1/2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 10:07 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
ex-math
Я правильно понимаю, что в данном случае $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = \frac{1}{2}(1-x)$, а, значит $b = \max\limits_{x}\lim\limits_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = 1/2$ ?
Подскажите, пожалуйста, а в чем ошибка в тех рассуждениях, которые я проделал:

Kenelm в сообщении #890996 писал(а):

$F_n(x)  = nx\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i(1-x)^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{x(n+1)}\right)$ ($x\in [0,1]$)

Обозначим $\tau = nx$, $x = \tau/n$. При достаточно большом $n$:
$\tilde{F}_n(\tau)  = \tau\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\left(\frac{\tau}{n}\right)^i(1-\frac{\tau}{n})^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.



Kenelm в сообщении #891221 писал(а):
Я пробовал использовать предельные теоремы. В частности, сходимость вероятностей Биномиального распределения к вероятностям распределения Пуассона:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\tilde{F}_n(\tau)  = \tau\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}e^{-\tau}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.

А эта функция является известной и в литературе можно найти факт того, что ее максимум достигается при $\tau \approx 1.34$. Т.е. при параметре $x \rightarrow 0$. Значение $b$ при этом равно $\approx 0.58$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 10:29 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
А что Вас удивляет?
Выше было установлено, что для всякого фиксированного $x$ имеет место $F_n(x) \to \frac {1}{2}(1-x)$.
Вы же говорите о случае, когда фиксировано $\tau = nx$. Иными словами, $x$ меняется вместе с $n$. На этот счет ничего не утверждалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 10:35 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
Просто мне казалось, что от замены переменных величина максимума функции не должна меняться... Однако, по видимому, когда речь заходит о пределах это не так?
Вообще говоря, изначально интересует в первую очередь величина $a = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\max\limits_{x}F_n(x)$, просто я не знаю как ее вычислить, поэтому пробовал прибегнуть к "смене" функций предела и максимума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 10:49 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Ну конечно же предел и максимум переставлять просто так нельзя. Вот Вам простейший пример ($\varepsilon \to 0$)
$F_{\varepsilon}(x) = \frac {\varepsilon x}{\varepsilon^2 + x^2}$
Таким образом задача - предел максимума? Ну что же, я уже приводил интегральное представление. Из него, судя по всему, можно вытащить то что надо. Скорее всего это та самая величина $\approx 0.58$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 11:14 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
Нет, то, что предел и максимум не всегда можно менять местами, я понимаю, оттого эту тему и создал. :)
Не понятно следующее.

1. Вот я сделал формальное действие - замену переменных при конечном $n$. Максимум функции при этом не должен поменяться. Но максимум от предела, получается, что меняется.

2. Вот я сделал формальное действие - замену переменных при конечном $n$. И при этом максимум от предела и предел от максимума стали совпадать (это я исхожу из Вашей фразы "Скорее всего это та самая величина $\approx 0.58$")?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вы же сами делаете замену $x=\frac{\tau}{n}$, а пишете функцию $F_n(\tau)$, в то время как должно быть $F(\frac{\tau}{n})$.
Проделайте аналогичные действия для $F_n(x)=\frac{nx}{n}$ и посмотрите какая гадость получается. А все потому, что у вас все элементы последовательности от разных переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 11:29 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Я не нашел 10 отличий в двух Ваших фразах. Посему предложу свой вариант.
В Вашей задаче предел и максимум переставлять нельзя. Максимум предела легко считается и равен 1/2. К слову, достигается он в точке $x=0$, где все функции обращаются в 0 (они, конечно, там не определены, но по непрерывности таки обращаются в 0). Уже это говорит о том, что просто так ничего не переставишь.
Что касается предела максимума, то его надо вычислять. По моим прикидкам максимум $F_n(x)$ достигается в области $\tau = nx < A$ с неким "достаточно большим" $A$. А в этой области вроде бы имеет место формула
$F_n(x) = \tau \int \limits_0^1 \frac{(1-z)^{\tau - 1} - e^{-\tau z}}{|\ln (1-z)|}dz + O(1/n)$
Если я не ошибся, то из этой формулы легко находится максимум и его предел. Разумеется, ничего непосредственно вычислять не нужно. Достаточно убедиться, что ряд Тейлора для этого интеграла совпадает с тем, что Вы указывали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение01.08.2014, 11:44 
Аватара пользователя


27/07/14
39
sup
demolishka
Знаете, я, наверное, очень сильно туплю, но я так и не понял: ПОСЛЕ замены переменных (после того, как я перешел от функции $F_n(x)$ к функции $\tilde{F}_n(\tau)$) я могу менять местами предел и максимум (имеется в виду в данном конкретном случае)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group