Разложение функции в ряд...

[PeanoJr]

Вот,допустим,мы раскладываем функцию:

$e^\sin(x)$
Зная разложения:
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
$sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$

Я бы записал:

$e^{\sin(x)}=1+(x-\frac{x^3}{6})+\frac{(x-\frac{x^3}{6})^2}{2}+\frac{(x-\frac{x^3}{6})^3}{6}+o(x^3)$

Но в учебниках обычно записывают немного проще:
$e^{\sin(x)}=1+(x-\frac{x^3}{6})+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

Это делается ради удобства? Я имею ввиду: за главную часть разложения берется просто $x$, а не $x-\frac{x^3}{6}$?
Или я что-то неправильно понимаю?

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891769 писал(а):

Я бы записал:

$e^\sin(x)=1+(x-\frac{x^3}{6})+\frac{(x-\frac{x^3}{6})^2}{2}+\frac{(x-\frac{x^3}{6})^3}{6}+o(x^3)$

Правильно. А дальше всё это очевидным образом упрощается до

PeanoJr в сообщении #891769 писал(а):

$e^\sin(x)=1+(x-\frac{x^3}{6})+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

[ИСН]

За главную часть ничего не берётся, да и понятия такого нет. У Вас правильно. И у них правильно. Это одно и то же. Почему? А скобки-то раскройте, вот и...

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891771 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891769 писал(а):

Я бы записал:

$e^\sin(x)=1+(x-\frac{x^3}{6})+\frac{(x-\frac{x^3}{6})^2}{2}+\frac{(x-\frac{x^3}{6})^3}{6}+o(x^3)$

Правильно. А дальше всё это очевидным образом упрощается до

PeanoJr в сообщении #891769 писал(а):

$e^\sin(x)=1+(x-\frac{x^3}{6})+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

Да, в итоге упростится, и все равно получится: $1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$. Упрощается очевидным, но довольно нудным образом. Мне просто показалось,что в учебнике автор подставляет не $x-\frac{x^3}{6}$, а просто ${x}$,чтобы не получать кучу слагаемых высокой девятой,седьмой,шестой степени...

[Otta]

Вы не указали, до какой степени требуется разложение, поэтому трудно сказать, что на самом деле нужно подставлять.

[PeanoJr]

Otta в сообщении #891791 писал(а):

Вы не указали, до какой степени требуется разложение, поэтому трудно сказать, что на самом деле нужно подставлять.

До $x^3$

[ИСН]

PeanoJr в сообщении #891785 писал(а):

Мне просто показалось,что в учебнике автор подставляет не $x-\frac{x^3}{6}$, а просто ${x}$,чтобы не получать кучу слагаемых высокой девятой,седьмой,шестой степени...

Просто автор уже делал это много раз и сразу видит, что если нужно разложить до кубов, то подставлять $x-\frac {x^3}6$ в степенях выше первой не имеет особого смысла - всё уйдёт в верхние степени. И он тупо подставляет $x$.

[PeanoJr]

ИСН в сообщении #891796 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891785 писал(а):

Мне просто показалось,что в учебнике автор подставляет не $x-\frac{x^3}{6}$, а просто ${x}$,чтобы не получать кучу слагаемых высокой девятой,седьмой,шестой степени...

Просто автор уже делал это много раз и сразу видит, что если нужно разложить до кубов, то подставлять $x-\frac {x^3}6$ в степенях выше первой не имеет особого смысла - всё уйдёт в верхние степени. И он тупо подставляет $x$.

Все понятно, спасибо:)

[Otta]

Ну и если Вам нужно разложение до третьей степени, как же можно игнорировать третью степень? А вот всякие восьмые-девятые, понятно, побочный продукт, не надо их все аккуратно считать, они все о маленькие от $x^3$, нет?

ЗЫ Сорри, если уже лишнее.

[PeanoJr]

Ещё такой вопрос: как разложить в ряд функцию:
$f(x)=(1+x)^{x}$

[nnosipov]

Аналогично $e^{\sin{x}}$.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891807 писал(а):

Аналогично $e^{\sin{x}}$.

$(\(1+x)^{x}=e^{x\cdot\ln({1+x})}$
$x\cdot\ln({1+x})=x^2-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$
$(\(1+x)^{x}=1+x^2-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$

Правильно?

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891810 писал(а):

Правильно?

Проверьте сами в какой-нибудь системе компьютерной алгебры.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891812 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891810 писал(а):

Правильно?

Проверьте сами в какой-нибудь системе компьютерной алгебры.

Судя по Вольфраму, все верно.
Кудрявцев в параграфе про разложение функций в ряд пишет, что запись формул Тейлора с помощью $O$ большого иногда бывает более удобным,нежели с $o$ малым. Что имеется ввиду? В каких случаях может потребоваться разложение с $O$ большим?

[ИСН]

В каких хотите. Так виднее, где именно начинается мусор. Скажем, $\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$, а может быть, там в о-малом не 3, а что-то ещё. Но: $\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$.