2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 16:09 


22/07/12
560
Вы имеете ввиду конечная арифметическая прогрессия? Если да, то вот доказательство. Пусть $G$ какая-то конечная арифметическая прогрессия.
Множество $N \backslash G$ - бесконечно и очевидно представляется в виде объединения множеств из $B$ (если это принципиально - могу расписать всё более строго, но думаю, что это не требуется), а значит является открытым. Значит $G$ - замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890433 писал(а):
Вы имеете ввиду конечная арифметическая прогрессия?
Разве у меня употребляется слово "конечная"? Но я всё равно неточно сформулировал. Замкнутой является не любая арифметическая прогрессия, а только такая, у которой первый член не превосходит разности, если ноль не считать натуральным числом; если ноль тоже натуральное число, то первый член должен быть меньше разности.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 16:48 


22/07/12
560
Someone в сообщении #890438 писал(а):
main.c в сообщении #890433 писал(а):
Вы имеете ввиду конечная арифметическая прогрессия?
Разве у меня употребляется слово "конечная"? Но я всё равно неточно сформулировал. Замкнутой является не любая арифметическая прогрессия, а только такая, у которой первый член не превосходит разности, если ноль не считать натуральным числом; если ноль тоже натуральное число, то первый член должен быть меньше разности.

У нас арифметическая прогрессия состоит только из натуральных чисел, судя по этому утверждению прогрессия {1, 3, 5, 7, ...} является замкнутой ($1 \leq 2$). Но это не так, потому что в выбранной топологии все бесконечные арифметические прогресии - открытые множества. Наверное Вы не совсем поняли задание.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #890442 писал(а):
У нас арифметическая прогрессия состоит только из натуральных чисел, судя по этому утверждению прогрессия {1, 3, 5, 7, ...} является замкнутой ($1 \leq 2$).
Точно.
main.c в сообщении #890442 писал(а):
Но это не так, потому что в выбранной топологии все бесконечные арифметические прогресии - открытые множества.
Совершенно верно. Открытой она тоже является.
main.c в сообщении #890442 писал(а):
Наверное Вы не совсем поняли задание.
Ну, почему же. Понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение27.07.2014, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
main.c
Подмножества топологического пространства могут быть как открытыми, так и замкнутыми одновременно. Вы с этим столкнетесь, когда познакомитесь с понятием связного топологического пространства.
Someone сформулировал несколько излишнее утверждение для данной задачи. Докажите попроще: "Бесконечная арифметическая прогрессия, в которой первый член и разность равны, является замкнутым подмножеством".

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 09:52 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #890683 писал(а):
Подмножества топологического пространства могут быть как открытыми, так и замкнутыми одновременно. Вы с этим столкнетесь, когда познакомитесь с понятием связного топологического пространства.

Да, конечно, забыл совсем, например в дискретном пространстве абсолютно любое множество является и открытым, и замкнутым.
demolishka в сообщении #890683 писал(а):
Someone
сформулировал несколько излишнее утверждение для данной задачи. Докажите попроще: "Бесконечная арифметическая прогрессия, в которой первый член и разность равны, является замкнутым подмножеством".

Ну это очевидно, пусть $G$ - такая прогрессия. Она имеет вид $\{a_n = a_1n | n \in N\}$. Множество $N\backslash G$ - является открытым, так как его можно представить в виде объединения элементов базы: $N\backslash G = \bigcup\limits_{k = 1}^{a_1-1}\{a_{kn} = k + a_1(n-1) | n \in N\}$, а значит $G$ - замкнуто.
Но я все равно не понимаю, зачем я это доказал.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Кстати, точно так же Вы могли бы доказать и то утверждение, которое я сформулировал.

main.c в сообщении #891217 писал(а):
Но я все равно не понимаю, зачем я это доказал.
Ну теперь предположите, что множество простых чисел конечно, и покажите, что множество $\{1\}$ открыто (ну и, конечно, замкнуто).

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 15:10 


22/07/12
560
Someone в сообщении #891246 писал(а):
Кстати, точно так же Вы могли бы доказать и то утверждение, которое я сформулировал.

main.c в сообщении #891217 писал(а):
Но я все равно не понимаю, зачем я это доказал.
Ну теперь предположите, что множество простых чисел конечно, и покажите, что множество $\{1\}$ открыто (ну и, конечно, замкнуто).

Вот в том-то и дело, что я не вижу связи, между множеством $\{1\}$ и множеством простых чисел. Тут нужно использовать какое-то свойство простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
http://dxdy.ru/post890413.html#p890413

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 15:42 


22/07/12
560
Кажется понял. Предположим, что множество простых чисел конечно, но тогда это бы означало, что множество всех натуральных чисел, начиная с 2, представляется в виде конечного объединения арифметических прогрессий, первый член и шаг которых равны. Так как это множество - конечное объединение замкнутых множеств, оно замкнуто. А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии. Значит множество простых чисел бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
main.c в сообщении #891406 писал(а):
А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии.
Вы здесь ссылаетесь на то, что требуется доказать, и получаете порочный круг. Ссылаться надо на то, что это множество не содержит базисной окрестности точки $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 23:06 


22/07/12
560
Someone в сообщении #891591 писал(а):
main.c в сообщении #891406 писал(а):
А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии.
Вы здесь ссылаетесь на то, что требуется доказать, и получаете порочный круг. Ссылаться надо на то, что это множество не содержит базисной окрестности точки $1$.

Позвольте с Вами не согласиться. У нас выбрана конкретная топология, она состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий(ещё там само множества и пустое множество). Топология полностью определяет набор открытых множеств. Если множество не принадлежит топологии, то оно не открыто(по определению открытого множества). $\{1\}$ - не принадлежит топологии, а значит не является открытым множеством. Но по предположению вышло, что оно открыто, значит пришли к противоречию.
Укажите мне пожалуйста, в каком конкретно месте эти рассуждения неверны. Возможно я излишне дотошен в данном вопросе, но хотелось бы досканально разобраться в данной теме. Поэтому я должен знать, где мои рассуждения перестают быть верными.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
main.c в сообщении #891613 писал(а):
Someone в сообщении #891591 писал(а):
main.c в сообщении #891406 писал(а):
А значит множество $\{1\} $ - открыто, чего быть не может, так как оно не является элементом выбранной топологии.
Вы здесь ссылаетесь на то, что требуется доказать, и получаете порочный круг. Ссылаться надо на то, что это множество не содержит базисной окрестности точки $1$.

Позвольте с Вами не согласиться. У нас выбрана конкретная топология, она состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий(ещё там само множества и пустое множество). Топология полностью определяет набор открытых множеств. Если множество не принадлежит топологии, то оно не открыто(по определению открытого множества). $\{1\}$ - не принадлежит топологии, а значит не является открытым множеством. Но по предположению вышло, что оно открыто, значит пришли к противоречию.
Укажите мне пожалуйста, в каком конкретно месте эти рассуждения неверны. Возможно я излишне дотошен в данном вопросе, но хотелось бы досканально разобраться в данной теме. Поэтому я должен знать, где мои рассуждения перестают быть верными.


База топологии состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Сама топология больше.
Множество всевозможных арифметических прогрессий не является топологией, т.к. не замкнуто относительно объединения.

 Профиль  
                  
 
 Re: База топологии.
Сообщение29.07.2014, 23:22 


22/07/12
560
mihaild в сообщении #891617 писал(а):
База топологии состоит из всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Сама топология больше.
Множество всевозможных арифметических прогрессий не является топологией, т.к. не замкнуто относительно объединения

Точно, я совсем забыл, что у нас определена база, а не топология целиком. Тогда множество {1} - не является открытым, потому что не представляется в виде объединения элементов базы. В общем-то это то же самое, о чём сказал Someone.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group