2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение27.07.2014, 18:57 


24/07/14
138
Всем желаю счастья и здоровья!

Стоит такая задача: для групп $SO(n), SU(n)$ показать, что единственной нетривиальной нормальной подгруппой в этих группах является центр группы. То есть, фактически, если $H$ – нормальная подгруппа ($\forall U \in SU(n), \forall h \in H: UhU^\dag \in H$), то $\forall h \in H, \forall U \in SU(n): hU=Uh$.

Во-первых, на всякий случай, хочу уточнить у тех, кто разбирается: это действительно так? Просто задачу поставил себе сам в ходе решения другой задачи. Мало ли, вдруг я зря пытаюсь.

Ну и, во-вторых, как это можно показать? Я сначала пробовал напрямую какими-то преобразованиями вывести, что, если $UhU^\dag=h'$, то $h'=h$ или сразу, что $\forall g \in SU(n): hg=gh$, но потом решил, что это гиблое дело, т.к. фактически унитарность матриц $U$ при таких преобразованиях нигде не используется (они все верны и для произвольных матриц, достаточно всюду заменить $U^\dag$ на $U^{-1}$). Еще был вариант такой: когда я раньше описывал центры этих групп, то, диагональность элементов центра я показывал домножая какие-то две строки $i_1,i_2$ матрицы $U$ на $-1$ (обозначим новую матрицу как $U'$, такая матрица снова лежит в $SU(n)$ – свойства группы для нее сохраняются): при этом если $i \ne i_\alpha$ то $(U'V)_{ij}=(UV)_{ij}$, а $(VU')_{ij}$ вообще говоря не равно $(VU)_{ij}$ – приравнивая $(VU')_{ij}$ к $(VU)_{ij}$ и подставляя все возможные $i_1,i_2$ получаем, что $V$ – диагональная матрица. Вот что-то подобное я хотел сделать и здесь. Много чего пробовал. Из самых последних попыток: пытался показать, что если, например, $h=Uh_1U^\dag$, то полагая $h'=U'h_1(U')^\dag$ получим какое-то небольшое различие между $h$ и $h'$ и тогда из того, что, если $h\in H$ следует, что и $h'\in H$ можно будет учтя свойства группы $SU(n)$ какие-то ограничения на $h$. Очевидно, ничего у меня не вышло, раз я здесь. Не уверен даже, что все это не было заранее обречено на провал.

В общем, хотел бы узнать действительно ли то, что я пытаюсь доказать, верно. Если верно – буду рад любой помощи.
Кстати, оригинальная задача была такая: показать, что $SU(n), n=2,3,...$ и $SO(n), n=5,6,...$ – простые группы. С ней я пока тоже не разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение28.07.2014, 12:15 


24/07/14
138
Если у кого-нибудь есть идеи по поводу того, как показать простоту групп $SO(n), SU(n)$ или простоту соответствующих им алгебр – тоже буду рад выслушать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение28.07.2014, 13:27 
Заслуженный участник


06/02/11
356
чтобы показать, что для простой группы Ли всякая нормальная подгруппа лежит в центре, надо показать, что для любого нецентрального элемента орбита относительно аджойнта имеет компоненту ненулевой размерности. Я не знаю, есть ли простое доказательство, но гугление выдало, например, вот эту статью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение28.07.2014, 13:49 


24/07/14
138
type2b в сообщении #890915 писал(а):
чтобы показать, что для простой группы Ли всякая нормальная подгруппа лежит в центре, надо показать, что для любого нецентрального элемента орбита относительно аджойнта имеет компоненту ненулевой размерности. Я не знаю, есть ли простое доказательство, но гугление выдало, например, вот эту статью.
type2b, здесь задача несколько иная. Во-первых, она стоит только для двух частных групп $SO(n)$ и $SU(n)$. Во-вторых, они не предполагаются простыми. Т.е. их простота в доказательстве не должна использоваться. Но в этой теме, кстати, стоит еще отдельная задача: показать простоту групп $SO(n), SU(n)$ или их алгебр $so(n), su(n)$. Но вообще, мне кажется, что должно быть какое-то простое решение этих задач (про то, что нормальная подгруппа в $SO(n), SU(n)$ – только центр, и про то, что обе эти группы\алгебры просты). "Простое" в том смысле, что для него достаточно лишь базовых свойств этих групп (унитарности и единичного определителя) и алгебр (антиэрмитовости). Одно из оснований для такого мнения: задача показать простоту групп дана в конце 3-й главы книги Рубакова – в этой главе только основные факты о группах и алгебрах Ли. Да и когда я искал что-то по этой задаче в других источниках – везде она приводилась в качестве упражнения практически сразу после определения простой группы. Значит, наверное, она не считается сложной. Кстати, когда я искал хоть что-нибудь по этой задаче я пересмотрел целое ведро статей и книг – везде говориться одно и то же: то, что эти группы простые – известный факт. Но нигде я не нашел ни слова о доказательстве этого. Ну может, конечно, я просто не умею пользоваться поиском в интернете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение28.07.2014, 16:39 
Заслуженный участник


06/02/11
356
группа Ли простая, если она не содержит непрерывных нормальных подгрупп. В обход этого более простого утверждения Вы хотите доказать более сильное: всякая нормальная подгруппа не только дискретна, но и содержится в центре. Я не думаю, что даже для частных случаев есть иной способ доказательства, кроме того, который я привел, и который использует более простое утверждение, т.е. простоту.
Для унитарной и ортогональной группы доказать полупростоту легко -- форма Киллинга невырождена. Чтобы доказать простоту (не пользуясь теорией корней и весов), я думаю, надо показать, что инвариантная форма на алгебре с точностью до умножения на число единственна (для тех групп, которые действительно простые, т.е. не SO(4)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение28.07.2014, 19:30 


24/07/14
138
type2b в сообщении #890989 писал(а):
В обход этого более простого утверждения Вы хотите доказать более сильное: всякая нормальная подгруппа не только дискретна, но и содержится в центре.
Мне кажется, что конкретно для этих двух групп этот факт должен как-то доказываться без привлечения более сложных теорий. Кстати о дискретности и непрерывности я ничего не говорил. Все что я хотел показать, что если элемент этой группы лежит в нормальной подгруппе, то он коммутирует со всеми. Мне кажется, что здесь должен быть какой-то способ.

type2b в сообщении #890989 писал(а):
Для унитарной и ортогональной группы доказать полупростоту легко -- форма Киллинга невырождена. Чтобы доказать простоту (не пользуясь теорией корней и весов), я думаю, надо показать, что инвариантная форма на алгебре с точностью до умножения на число единственна (для тех групп, которые действительно простые, т.е. не SO(4)).
Еще раз повторю, что я совсем недавно познакомился с группами и мои представления о них пока еще очень поверхностны. Поэтому большая часть того, что вы говорите здесь мне непонятна. О некоторых вещах я вообще слышу впервые.

И все же, мне кажется, должен быть какой-то способ показать простоту или доказать мое более сильное утверждение, основываясь на самых базовых знаниях об этих группах/алгебрах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые группы Ли и простые алгебры Ли
Сообщение28.07.2014, 19:41 
Заслуженный участник


06/02/11
356
попробуйте. НапишИте, если получится

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group