2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 16:11 
Аватара пользователя


27/07/14
39
Уважаемые коллеги, помогите разобраться в следующем вопросе.
Пусть задана последовательность функций: $F_1(x), F_2(x), \ldots$, где $x \in [0,1]$.
Причем $F_i(x) \geq 0$и ограничена сверху. Сравниваются две величины:
1. $a = \lim\limits_{i \rightarrow \infty}\max\limits_{x} F_i(x)$
2. $b = \max\limits_{x} \lim\limits_{i \rightarrow \infty} F_i(x)$
Интуитивно кажется, что $b \leq a$. Так ли это на самом деле? И, главный вопрос: в каких случаях $a = b$?
Пока мне удалось лишь подобрать несколько конкретных примеров, когда $a = b$ и когда $b < a$, но обобщить не удается. Поиском пользовался весьма активно, но ответа на вопрос пока не нашел...
Заранее благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 16:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Что-то известно дополнительно про функции и характер сходимости?

Если все встреченные пределы существуют, то действительно $b\le a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 17:00 
Аватара пользователя


27/07/14
39
Да, известно, что функция непрерывна и дифференцируема, а сходимость - равномерная. Простите, а что такое "встреченные пределы"?

Мне интересно, существуют ли какие либо достаточные условия для того, чтобы $a = b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 17:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
У Вас там два предела в тексте есть. Их существование известно априори?
Для неравенства ни непрерывность, ни равномерность не нужна. Для равенства - надо посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Kenelm в сообщении #890641 писал(а):
Интуитивно кажется, что $b \leq a$. Так ли это на самом деле?

Почему же интуитивно, на самом деле: $F_k(x) \leq G_k=\max\{F_k(x)\}$. Следовательно и в пределе это неравенство верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 17:21 
Аватара пользователя


27/07/14
39
demolishka в сообщении #890660 писал(а):
Kenelm в сообщении #890641 писал(а):
Интуитивно кажется, что $b \leq a$. Так ли это на самом деле?

Почему же интуитивно, на самом деле: $F_k(x) \leq G_k=\max\{F_k(x)\}$. Следовательно и в пределе это неравенство верно.

Да, действительно, спасибо! :)

-- 27.07.2014, 17:22 --

Otta в сообщении #890656 писал(а):
У Вас там два предела в тексте есть. Их существование известно априори?

Да, считается, что оно априори известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну одно из достаточных условий равенства - монотонность(одинаковая для всех начиная с некоторого номера $k_0$) каждой из функций $F_k(x)$. Попробуйте это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 18:13 
Аватара пользователя


27/07/14
39
demolishka
К сожалению, в интересующем меня случае $F_k(x)$ - не монотонна...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Тогда назовите свойства, которыми может обладать ваша последовательность функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 18:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Почему бы Вам просто явно не написать Ваш случай?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение27.07.2014, 18:52 
Аватара пользователя


27/07/14
39
Otta
demolishka
Да, пожалуй, придется. :) Просто мне не хотелось ограничиваться своим частным случаем, а разобраться в вопросе в целом! Да и функции слишком противненькие, чтобы напрягать уважаемое сообщество. :)
Итак: $F_n(x)  = nx\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i(1-x)^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{x(n+1)}\right)$

Максимум от этого монстра найти, по-моему, нереально, поэтому с вычислением величины $a$ есть проблемы. А вот если обозначить $\tau = nx$, $x = \tau/n$ и устремить $n \rightarrow \infty$ при фиксированном $\tau$, то получится вполне безобидная сумма, максимум которой по $\tau легко можно найти численно с любой заранее заданной точностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Для равенства достаточно равномерной сходимости, ну и существования максимумов и пределов.
Для любого $\varepsilon$ при достаточно больших $i$ имеем $F_i(x)<F(x)+\varepsilon\leqslant\max F+\varepsilon$ и $\max F_i<\max F+\varepsilon$, что влечет $\lim\max F_i\leqslant\max F$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 12:35 
Аватара пользователя


27/07/14
39
ex-math в сообщении #890869 писал(а):
..., что влечет $\lim\max F_i\leqslant\max F$.

А не наоборот?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 12:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Наоборот у Вас уже есть, это доказательство равенства.

ЗЫ Я, к сожалению, не могу понять пока, почему Вы думаете, что Ваша последовательность сходится равномерно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 16:27 
Аватара пользователя


27/07/14
39
Otta
Хм, да, действительно, что-то я поторопился с равномерностью. А будет достаточно, если доказать равномерную сходимость только в окрестности максимума?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group