2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проблема с вычислением конечной суммы
Сообщение25.07.2014, 18:05 
Аватара пользователя


15/08/09
1367
МПГУ (математический факультет)
При исследовании возникла проблема вычислить следующею конечную сумму

$$ \sum_{i=0}^k C^{k}_{i} (-1)^{k-i} \left ( \sum_{m=0}^{k-2} \left (  \frac{2k-2m-1}{2}\right )\left( (q+i)^{m+1}-(q+i)^{m} \right ) + \frac{(q+i)^{k}-(q+i)^{k-1}}{2} \right ) $$

Причем числа $k;q$ фиксированные константы.
Я пытался эту сумму раскладывать, но ничего путного не получилось. Вообще у меня цель , найти явное значение этой суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с вычислением конечной суммы
Сообщение25.07.2014, 18:41 
Заслуженный участник


25/02/11
1494
Там действительно $C_i^k$? А то в этом случае все слагаемые, кроме одного, равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с вычислением конечной суммы
Сообщение25.07.2014, 18:51 
Аватара пользователя


15/08/09
1367
МПГУ (математический факультет)
Vince Diesel
нет нет там опечатка должно быть $C^{i}_{k}$
просто сам чуть запутался так как в формуле в которую подставлял было обозначение биномиальных коэффициентов было $\binom{k}{i}\quad$

Я надеюсь что выражение этой конечной суммы не будет зависеть от $q$ (это показали результаты численного эксперемента)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с вычислением конечной суммы
Сообщение25.07.2014, 20:33 
Заслуженный участник


25/02/11
1494
Ну, эксперименттально для $k\ge1$ получается $k!/2$.

ЗЫ. Известно, что разность порядка $k$ от многочлена порядка $k$ равна $k!$. А под знаком суммы многочлен порядка $k$, причем старший коэффициент равен $1/2$. Мб этого замечания тут достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с вычислением конечной суммы
Сообщение25.07.2014, 21:04 
Аватара пользователя


15/08/09
1367
МПГУ (математический факультет)
Vince Diesel
Да спасибо, за полезное замечание. Кстати, а как можно доказать что искомая сумма равна $\frac{k!}{2}$ ?
Можете дать ссылку на этот факт, а именно на то что чему разность порядка к от м-на степени к ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проблема с вычислением конечной суммы
Сообщение26.07.2014, 09:58 
Заслуженный участник


25/02/11
1494
В больших скобках стоит многочлен степени $k$ от переменной $i$. Коэффициент при $i^k$ равен $1/2$. Далее все следует из формулы
$$\Delta^k i^m=\left\{ \begin{array}{cc} 0 & m<k ,\\ k! & m=k ,\end{array} \right.$$
которая наверняка есть в "Конкретной математике". Также можно посмотреть Гельфонд "Исчисление конечных разностей".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group