2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 18:14 


22/07/12
560
Начал читать книжку "Элементарная топология", и там есть такой момент:
Цитата:
Замкнутость и открытость — во многом аналогичные свойства. Фундамен-
тальное различие между ними состоит в том, что пересечение бесконечного
набора открытых множеств не обязательно открыто, тогда как пересечение
любого набора замкнутых множеств замкнуто, а объединение бесконечного
набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто, тогда как объединение
любого набора открытых множеств открыто.

Хотелось бы примеры для этих 4 случаев.
Например возьмём множество $R$ со стандартной топологией.
1. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязательно открыто.
Тут я не могу придумать бесконечное семейство интервалов, пересечение множеств которого не открыто.
2. Пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто.
Это очевидно, так как следует из соответствующей аксиомы топологии (объединение любого набора открытых множеств открыто).
3. Объединение бесконечного набора замкнутых множеств не обязательно замкнуто.
Тут я тоже не могу придумать пример.
4. Объединение любого набора открытых множеств открыто - аксиома топологии.

В итоге на 1 и 3 у меня примеров нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну, классический пример для первого - это $\bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} (-\frac{1}{n}; +\frac{1}{n})$.
Для третьего сами придумайте что-нибудь похожее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 18:21 


22/07/12
560
На 3 придумал: $\bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} [-n, n] = R$, а что-нибудь поинтереснее есть для 1 и 3? :D Ну или хотя бы для 3, потому что мой пример одновременно и открытое, и замкнутое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$\mathbb{R}$ замкнуто в $\mathbb{R}$, не годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Представьте отрезок как пересечение открытых интервалов и представьте открытый интервал как объединение отрезков. Вот вам примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 18:46 


22/07/12
560
demolishka в сообщении #889235 писал(а):
Представьте отрезок как пересечение открытых интервалов и представьте открытый интервал как объединение отрезков. Вот вам примеры.

1. $ \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} (-1-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}) = [-1, 1]$
2. $ \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} [-1+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}] = (-1, 1)$

-- 21.07.2014, 18:51 --

Есть ещё одно задание, которое вызывает вопросы:
Цитата:
Перечислите все наборы подмножеств трёхэлементного множества, такие, что
существуют топологии, в которых эти наборы являются полными наборами замкну-
тых множеств.

Я даже задание не совсем понял. Возьмём $X = \{1, 2, 3\}$. Что значит наборы, которые являются полными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 19:47 


22/07/12
560
Кажется разобрался. Насколько я понимаю, для решения данного задания достаточно найти все возможные топологии для множества $X$, это и будут искомые наборы?

-- 21.07.2014, 20:03 --

$F_1 = P(X)$
$F_2 = \{\varnothing, X\}$
$F_3 = \{\varnothing, X, \{1\}\}$
$F_4 = \{\varnothing, X, \{2\}\}$
$F_5 = \{\varnothing, X, \{3\}\}$
$F_6 = \{\varnothing, X, \{1, 2\}\}$
$F_7 = \{\varnothing, X, \{1, 3\}\}$
$F_8 = \{\varnothing, X, \{2, 3\}\}$
$F_9 = \{\varnothing, X, \{1\}, \{1, 2\}\}$
$F_{10} = \{\varnothing, X, \{1\}, \{1, 3\}\}$
$F_{11} = \{\varnothing, X, \{2\}, \{2, 1\}\}$
$F_{12} = \{\varnothing, X, \{2\}, \{2, 3\}\}$
$F_{13} = \{\varnothing, X, \{3\}, \{3, 1\}\}$
$F_{14} = \{\varnothing, X, \{3\}, \{3, 2\}\}$
ну и так далее, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология.
Сообщение21.07.2014, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
main.c в сообщении #889256 писал(а):
Кажется разобрался. Насколько я понимаю, для решения данного задания достаточно найти все возможные топологии для множества $X$, это и будут искомые наборы?
Угу, только искомые наборы - наборы замкнутых множеств, а топологии - наборы открытых. Но на конечном множестве это неважно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group