2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пара вопросов про целые числа и полный квадрат.
Сообщение20.07.2014, 20:12 


14/03/14
112
Докажите, что если $x$ - целое число и $x \ge 5$, то существует $y > 0$, такое, что $x + y$ дает полный квадрат, где $x > y$.

Доказательство.

$a^2 \le x < (a + 1)^2$ верно для всех целых $ a $.

Надо показать, что для всех $y > 0$, $y + x =$ полный квадрат. Поскольку нет $y > 0$, таких что $y + x =$ полный квадрат для $x = 1, 2, 3, 4$, мы утверждаем, что наше предположение верно для $x \ge 5$.

Если $x = 5, 6, 7, 8$, то $a$ не является целым числом, поэтому указанное выше неравенство не будет действительным, так как мы знаем, что $a$ является положительным целым числом. Mы проверим эти случаи по отдельности.

Пусть $x > y > 0$.

Тогда $5 + 4$ является полным квадратом. Также $6 + 3$, $7 + 2$, $8 + 1$ и $9 + 7$.

Так что достаточно доказать наше утверждение для $x > 9$.

Если $x > 9$, то $a \ge 3$.


Из неравентсва $a^2 \le x < (a + 1)^2$ следует $a^2 -x \le 0 < (a + 1)^2 -x$.

Поскольку $ 0 < (a + 1)^2 -x$, мы позволим $y = (a + 1)^2 -x$.

Чтобы оправдать наш выбор $y$ и доказать наше утверждение, мы также должны показать, что $y + x$ является полным квадратом и $x > y$:

$x +  y = x + (a + 1)^2 -x = (a + 1)^2$.

$ y = (a + 1)^2 - x$

$ <  (a + 1)^2 - a^2$

$= 2a + 1$

$< a^2$

$\le x$.

----------------------------------

Видно, что $y$ сконструирован из неравенсtва $a^2 \le x < (a + 1)^2$. Означает ли это, что если мы докажем любое утверждение относительно $x$, то оно будет спарведливо для всех $x > 9$ Если $x = 10$, $a$ не может быть целым числом. Как это влияет на утверждение, что док-во спаведливо для всех $x > 9$? Также если $x > 9$, $a$ не может равняться $3$. Если у кого есть время пожалуйста обьясните эти моменты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов про целые числа и полный квадрат.
Сообщение20.07.2014, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Наверное, по идее правильно, но много лишних букв. Нам что предлагают доказать? Что между $x$ и $2x$ найдётся целый квадрат. Ну так естественно: рассмотрим первый целый квадрат, превосходящий $x$ (то есть такой, что предыдущий квадрат - меньше-или-равен $x$, а этот больше). Начиная с 16, этот квадрат превосходит предыдущий менее чем в 2 раза. Значит, он также превосходит $x$ менее чем в два раза, то есть вот нам и ответ. Меньшие случаи проверяем руками.

-- менее минуты назад --

Собственно, у Вас то же самое написано, только неаккуратно. Что вот это такое, например?
ghetto в сообщении #888979 писал(а):
$a^2 \le x < (a + 1)^2$ верно для всех целых $ a $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов про целые числа и полный квадрат.
Сообщение21.07.2014, 01:42 


14/03/14
112
ИСН в сообщении #888985 писал(а):
Собственно, у Вас то же самое написано, только неаккуратно. Что вот это такое, например?
ghetto в сообщении #888979 писал(а):
$a^2 \le x < (a + 1)^2$ верно для всех целых $ a $.


Неравенство переписал неверно. Это неравенство верно только для некоторых $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара вопросов про целые числа и полный квадрат.
Сообщение21.07.2014, 02:32 
Заслуженный участник


16/02/13
2749
Владивосток
Вообще-то, даже не для некоторых. А ровно для одного целого $a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group