2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 14:58 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Здравствуйте!

Пусть $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$. Если сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod p$ имеет больше чем $n$ решений, тогда все коэффициенты многочлена $f(x)$ кратны $p$.

Моя попытка доказательства: Пусть $m\leqslant n$ и $m$ -- максимальное число такое, что $p\nmid a_m$. Тогда мы получаем, что $f(x)\equiv a_mx^m+\dots+a_1x+a_0 \pmod p$. Но так как $(a_m,p)=1$ тогда по теореме Лагранжа сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod p$ имеет не более $m$ решений. Получаем противоречие.

Скажите пожалуйста мое доказательство является верным?

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 16:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8373
А что за теорема Лагранжа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 18:18 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86 в сообщении #888474 писал(а):
А что за теорема Лагранжа?
Если у Вас есть сравнение $a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\equiv 0\pmod p$, где $p$ - простое и $(a_n, p)=1$, то данное сравнение имеет не более $n$ решений.
П.С. Доказательство Вы считаете верным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5483
Новосибирск
Верно, но проще сказать, что многочлен имеет корней в поле не больше, чем его степень.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group