Доказать утверждение

[fronnya]

Дан тэтраэдр $ABCD$. Доказать, что $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$.
Мое доказательство:
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD},\\\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC},\\\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC},\\\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}
Дальше в задаче идет вопрос, который я не понял вообще. "Верно ли это утверждение для четырех произвольных точек?" Как это понять?

[bot]

В условии сказано, что четыре точки являются вершинами тетраэдра. Не является ли оно лишним?

[fronnya]

bot, я не могу понять Вас.

[bot]

Возьмём любые 4 точки, а про тетраэдр промолчим. Будут ли равны указанные суммы?

[ewert]

Вопрос действительно странный.

Что касается доказательства. Если нарисовать картинку, то видно, что эти четыре ребра образуют замкнутый контур, поэтому сумма соответствующих векторов равна нулю. Так что если доказываемое равенство верно, то оно должно вытекать непосредственно из этого. И действительно:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec0\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$.

[bot]

ewert в сообщении #888412 писал(а):

Вопрос действительно странный.

Для школы не странный - там плоских тетраэдров не бывает.

[ewert]

bot в сообщении #888414 писал(а):

Для школы не странный - там плоских тетраэдров не бывает.

Так ведь:

1) при любом способе доказательства никак не используется его плоскость или неплоскость;

2) плоский случай разве что проще.

Что в школе, что не в школе.

[fronnya]

ewert в сообщении #888412 писал(а):

Вопрос действительно странный.

Что касается доказательства. Если нарисовать картинку, то видно, что эти четыре ребра образуют замкнутый контур, поэтому сумма соответствующих векторов равна нулю. Так что если доказываемое равенство верно, то оно должно вытекать непосредственно из этого. И действительно:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec0\ \Leftrightarrow\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$.

так намного проще, но я не сразу это заметил как-то.

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #888416 писал(а):

при любом способе доказательства никак не используется его плоскость или неплоскость

Кто ж его знает, какими закоулками пойдёт пытливый ум школьника. Вот стартовый способ точно не использует, на что я ненавязчиво и пытался натолкнуть.

[Munin]

(Оффтоп)

Моё доказательство. Обозначим радиус-вектор точки $X$ через $\vec{x}.$ Тогда $\overrightarrow{XY}=\vec{y}-\vec{x}.$
Левая часть искомого равенства равна $\vec{d}-\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}.$
Правая часть искомого равенства равна $\vec{d}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}.$
Очевидно, они отличаются на перегруппировку членов.

Примечание: замена всех "векторов между точками" на разности радиус-векторов, и работа только с радиус-векторами, - удобный общий метод. Здесь он позволяет не искать дополнительных построений (вектора $\overrightarrow{BA}$).

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #888424 писал(а):

Вот стартовый способ точно не использует,

А Вы можете предложить хоть один способ, который использовал бы?...

[fronnya]

Munin в сообщении #888425 писал(а):

(Оффтоп)

Моё доказательство. Обозначим радиус-вектор точки $X$ через $\vec{x}.$ Тогда $\overrightarrow{XY}=\vec{y}-\vec{x}.$
Левая часть искомого равенства равна $\vec{d}-\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}.$
Правая часть искомого равенства равна $\vec{d}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{a}.$
Очевидно, они отличаются на перегруппировку членов.

Примечание: замена всех "векторов между точками" на разности радиус-векторов, и работа только с радиус-векторами, - удобный общий метод. Здесь он позволяет не искать дополнительных построений (вектора $\overrightarrow{BA}$).

непонятно

[Munin]

Хорошо.

Выберем произвольную точку $O.$ Запишем для любого вектора $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}.$ Это то же самое, что у меня, но только в более громоздких обозначениях - лишние $\overrightarrow{O\phantom{X}}$ таскать приходится. Так понятно?

-- 18.07.2014 15:25:42 --

(Оффтоп)

Нет векторов, кроме радиус-векторов, и все остальные векторы - всего лишь разности радиус-векторов :-)

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #888431 писал(а):

А Вы можете предложить хоть один способ, который использовал бы?...

Сходу не могу, но утверждать, что никто не сможет, тоже не могу.

[fronnya]

Munin в сообщении #888439 писал(а):

Так понятно?

да