2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 точность анализа
Сообщение10.07.2014, 15:38 


27/10/09
600
Друзья! Такой вопрос. Есть аттестованный стандарт, т.е. аттестованное значение дается как среднее и дисперсия, назовем среднее $a$, дисперсию $\sigma^2$. По этому стандарту делаем несколько измерений $x_i, i=1..n$, т.е. проверяем точность метода. Теперь нужно посчитать точность метода как "Степень близости результата измерений к принятому опорному значению". Можем, конечно, посчитать дисперсию при известном среднем $s^2=\sum_{i=1}^n (x_i-a)^2/n$. Но тут выясняется, что $s^2$ не так уж сильно отличается от $\sigma^2$. Если бы $s^2$ была много больше, чем $\sigma^2$, то $\sigma^2$ можно было бы пренебречь и тогда точностью (доверительным интервалом) будет $s \cdot t_n$, где $t_n$ - квантиль распределения Стьюдента с $n$ степенями свободы. А как изменится расчет доверительного интервала, если пренебречь сигмой нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение11.07.2014, 19:53 


27/10/09
600
Чего-то не пойму. Если все $x_i$ подчиняются нормальному распределению с центром, предположим, $m$ и стандартным отклонением, предположим, $q$, а случайная величина $a$, подчиняется нормальному распределению с тем же центром $m$ и стандартным отклонением $\sigma$, то по идее, величины $y_i=\frac{x_i-a}{\sqrt{q^2+\sigma^2}}$ должны подчиняться нормальному распределению с центром $0$ и стандартным отклонением $1$. Тогда сумма их квадратов $\chi^2=\sum_{i=1}^n y_i^2=\frac{1}{q^2+\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-a)^2$ должна подчиняться распределению хи-квадрат с $n$ степенями свободы. А почему-то не подчиняется. Вопрос - почему? Неужели где-то появись зависимость между $y_i$?

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение12.07.2014, 20:47 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Я тоже чего-то не пойму. Из Вашего первого поста складывается впечатление, что $a$ Вам известно заранее. Почему во втором оно уже выступает в роли случайной величины? И верно ли я понимаю, что Вы исходите из предположения, что измерения подчинены нормальному закону распределения? В стартовом посте явно это не упоминается, но используется потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение12.07.2014, 21:31 


27/10/09
600
Я так понял, Вас смутила фраза "аттестованное значение дается как среднее и дисперсия, назовем среднее $a$, дисперсию $\sigma^2$." Вроде, все корректно сказано, но поясню - аттестация стандартного образца тоже проходит посредством анализа, но в нескольких лабораториях и очень правильным и дорогим методом. Таким образом эта самая $a$ не есть истинное значение (его, к сожалению, только Господь знает), а тоже есть случайная величина, которая подчиняется нормальному распределению (на самом деле Стьюденту) с центром $m$, который неизвестен (если бы он был известен, то нечего было бы и огород городить). Эти $a$ и $\sigma^2$ нам действительно известны заранее - они есть в паспорте стандартной пробы, но, повторяю, это не истинное значение, а нам нужно определиться с правильностью нашего анализа (как мера отклонения результата анализа от истинного значения).

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение12.07.2014, 21:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
И $x_i$ и $a$ никак не коррелируют?

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение12.07.2014, 21:49 


27/10/09
600
Обязательно коррелируют, т.е. если взять разные стандартные пробы с разными $a$, то $x$ обязаны с ними коррелировать - иначе грош цена нашим анализам. Только тогда нужно вводить обозначения $a_j,j=1..k$, где $k$-количество исследованных стандартных проб.

Но сейчас пока интересует исследование только одной стандартной пробы. Берем эту стандартную пробу, известно ее измеренное значение $a$, известна правильность этого измерения $\sigma$, и делаем по этой пробе $n$ измерений $x_i,i=1..n$. Только тогда о корреляции нельзя говорить - $a$ всегда одно и то же.
И вот теперь нужно как то определить точность нашего метода анализа, например дисперсию $s_{pr}^2=\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2/n$. Вот только $m$ неизвестно.

Еще поясню. Если бы мы имели возможность штамповать наши анализы сотнями (а лучше миллионами), то тогда было бы просто - я бы сложил дисперсию стандартного образца с нашей дисперсией (средним квадратом отклонения от аттестованного значения этого стандарта), и получил бы дисперсию, связанную с точностью, поскольку при больших степенях свободы распределение Стьюдента можно считать нормальным. Но, сложность в том, что при нескольких пробах от распределения Стьюдента не уйти.

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение12.07.2014, 22:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Мне кажется, где-то происходит подмена понятий. Случайной величины и реализации случайной величины. Поскольку надо определиться, либо уж $a$ всегда одно и то же, либо таки это случайная величина. Как я понимаю, у Вас неприятность возникает на этом этапе
AndreyL в сообщении #886620 писал(а):
$y_i=\frac{x_i-a}{\sqrt{q^2+\sigma^2}}$ должны подчиняться нормальному распределению с центром $0$ и стандартным отклонением $1$.

Ничего такого, они, имхо, не должны, поскольку $x_i$ и $a$ явно зависимы - по крайней мере, с точки зрения здравого смысла.

Но это если я верно поняла Вашу постановку задачи, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: точность анализа
Сообщение12.07.2014, 22:33 


27/10/09
600
Да, конечно Вы правы! $a$ есть реализация случайной величины, при этом утверждается, что та случайная величина подчиняется нормальному распределению с центром в истинном значении $m$ и дисперсией $\sigma^2$. Посчитать отклонение наших анализов от $a$ не составляет труда, а вот как оценить отклонение от $m$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group