вопрос по Харрису

[OlgaD]

Не могу понять смысл следующего утверждения из книги Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс.

Цитата:

Для произвольного открытого множества $U\subset X$ утверждение о том, что каждая регулярная на $U$ функция $f$ является отношением $g/h,$ где $h$ не обращается в 0 на $U,$ будет ложно.

Здесь предполагается, что $X$ - аффинное многообразие (неприводимость не требуется).

Вопрос в следующем. Разве для квазиаффинного многообразия регулярная функция $f$ не определяется именно так, как в цитате? Какое "произвольное" открытое множество имеется здесь в виду? И как тогда должна определяться регулярная функция для "произвольного" открытого подмножества $U\subset X?$

[Narn]

Имеется в виду произвольное открытое множество в топологии Зариского.

Регулярная функция представима в виде $g/h$ локально: у каждой точки есть окрестность, в которой такое представление найдется (с ненулевым в этой окрестности знаменателем). Но знаменатель этот, вообще говоря, зависит от окрестности.

Все определения написаны в самом начале лекции 2 (начиная со стр. 34 русского издания).

[OlgaD]

Определения даны не только что в начале лекции, а на той же странице, что и приведенная цитата.
Выходит, смысл цитаты - еще раз подчеркнуть локальность определения регулярной функции? И все?

Тогда совсем наивный вопрос: функция $x/y$ в аффинном пространстве $\mathbb{A}^2$ рациональная. А на множестве $\mathbb{A}^2\setminus\{y=0\}$ эта же функция станет регулярной? Как тогда называются точки прямой $y=0?$ Полюсами функции $x/y?$

-- 09.07.2014, 16:13 --

Наверное, мне проще будет понять, если рассмотреть конкретный пример.

Вот пусть $X=\{y-x^2\}\subset\mathbb{A}^2$ - аффинное многообразие. Тогда множество $V=X\setminus\{x+y-1\}$ по-видимому будет квазиаффинным многообразием. Тогда как будет выглядеть регулярная функция на $V?$

[Narn]

OlgaD в сообщении #885746 писал(а):

Выходит, смысл цитаты - еще раз подчеркнуть локальность определения регулярной функции? И все?

Ну, в общем да. Это же написано сразу после леммы, в которой говорится, что для главных открытых подмножеств такое представление можно выбрать глобально (на всем $U_f$ будет какая-то степень $f$ в знаменателе). Для произвольного открытого множества это уже не так.

OlgaD в сообщении #885746 писал(а):

Тогда совсем наивный вопрос: функция $x/y$ в аффинном пространстве $\mathbb{A}^2$ рациональная. А на множестве $\mathbb{A}^2\setminus\{y=0\}$ эта же функция станет регулярной? Как тогда называются точки прямой $y=0?$ Полюсами функции $x/y?$

Да, станет регулярной. А как называются эти точки, я не знаю.

[OlgaD]

Narn в сообщении #885750 писал(а):

Ну, в общем да. Это же написано сразу после леммы, в которой говорится, что для главных открытых подмножеств такое представление можно выбрать глобально (на всем $U_f$ будет какая-то степень $f$ в знаменателе). Для произвольного открытого множества это уже не так.

Совсем запуталась? Почему функция $f$ оказывается в знаменателе, да еще и в степени?

[Narn]

OlgaD в сообщении #885758 писал(а):

Narn в сообщении #885750 писал(а):

Ну, в общем да. Это же написано сразу после леммы, в которой говорится, что для главных открытых подмножеств такое представление можно выбрать глобально (на всем $U_f$ будет какая-то степень $f$ в знаменателе). Для произвольного открытого множества это уже не так.

Совсем запуталась? Почему функция $f$ оказывается в знаменателе, да еще и в степени?

Извините, это я обозначения Харриса из леммы взял, забыл, что вы через $f$ произвольную регулярную функцию обозначили. Поскольку мы все равно про конкретную книжку говорим, давайте все же на его обозначения перейдем. Пусть $f$ --- это многочлен, фиксированный. Тогда у нас есть главное открытое множество $U_f$.
В лемме написано

Цитата:

Более того, если $U= U_f$ ---главное открытое подмножество в $X$, то кольцо регулярных на $U$ функций является локализацией $\mathbb{A}(X)[1/f]$

Это и означает, что если взять произвольную регулярную на $U_f$ функцию $\varphi$, то ее можно на всем $U_f$ записать в виде частного $g/f^k$. В вашем примере --- любая регулярная на $\mathbb{A}^2\setminus \{ y = 0 \}$ функция будет иметь вид $g(x, y) / y^k$, $k$ неотрицательное целое, $g(x,y)$ --- полином.

Но не все открытые подмножества --- главные. На произвольном открытом подмножестве выбрать такое представление глобально не получится. Вот и все.

[OlgaD]

Так в таком виде это и очевидно. Если у рациональной функции выкинуть полюса, то она станет регулярной.

Narn в сообщении #885778 писал(а):

В вашем примере --- любая регулярная на $\mathbb{A}^2\setminus \{ y = 0 \}$ функция будет иметь вид $g(x, y) / y^k$, $k$ неотрицательное целое, $g(x,y)$ --- полином.

Я так понимаю, возможен и случай $k=0,$ то есть $\varphi=g(x,y)$ --- многочлен.
Еще бы сочинить пример на общее определение регулярной функции.

-- 09.07.2014, 19:21 --

Таким образом, подводим итоги. Любая регулярная функция на открытом подмножестве $U\subset X$ определяется локально как рациональная функция, не имеющая полюсов в некоторой окрестности любой точки $p\in U.$ Если $U=U_f,$ то $\varphi=g(x,y)/f^k.$ Если $U=X,$ т.е. аффинное многообразие, то регулярная функция - полином.

[Narn]

OlgaD в сообщении #885822 писал(а):

Так в таком виде это и очевидно. Если у рациональной функции выкинуть полюса, то она станет регулярной.

Что именно очевидно? Извините, но у меня подозрение, что вы про обратное утверждение думаете (если взять функцию вида $g/f^k$, то она регулярна на $U_f$ --- это и вправду тривиальность, а лемма --- она про кольцо всех рег. функций). Загляните в доказательство на всякий случай, на стр. 86.

OlgaD в сообщении #885822 писал(а):

Если $U=X,$ т.е. аффинное многообразие, то регулярная функция - полином.

Это с чего вдруг? На всем $\mathbb{A}^n$ кроме полиномов действительно ничего нет, а на многообразии-то почему?

[OlgaD]

Narn в сообщении #885827 писал(а):

Что именно очевидно? Извините, но у меня подозрение, что вы про обратное утверждение думаете (если взять функцию вида $g/f^k$, то она регулярна на $U_f$ --- это и вправду тривиальность, а лемма --- она про кольцо всех рег. функций). Загляните в доказательство на всякий случай, на стр. 86.

Возможно. Я поняла, что лемма утверждает - других регулярных функций, кроме $g/f^k,$ на $U_f$ нет. Это, конечно, не так очевидно.

Narn в сообщении #885827 писал(а):

Это с чего вдруг? На всем $\mathbb{A}^n$ кроме полиномов действительно ничего нет, а на многообразии-то почему?

Разве кольцо регулярных функций на аффинном многообразии $V\subset\mathbb{A}^n$ (координатное кольцо) не определяется как $k[V]\simeq k[x_1,\ldots,x_n]/I(V),$ где $I(V)$ --- идеал многообразия?

-- 09.07.2014, 19:56 --

Опять же на с. 36 цитируемой книги мы можем прочитать:

Цитата:

Теперь мы подошли к ключевому определению, а именно, к определению регулярной функции на многообразии $X.$ В конечном счете мы хотим, чтобы регулярной функцией на $X$ было ограничение многочлена от $z_1,\ldots,z_n$ на $X,$ т.е. элемент кольца $A(X).$

Я чуть выше обозначила $A(X)$ через $k[V],$ что вообще-то, сути не меняет.

[OlgaD]

Подскажите, пожалуйста, где можно почитать поподробнее по следующей теме: Регулярные функции на квазиаффинном множестве. Корректность определения.